格林函数计算的总态密度在能量积分上的确定性

格林函数计算的总态密度在能量积分上的确定性

在凝聚态物理和材料科学中，态密度（DOS）是一个重要的物理量，它描述了在给定能量范围内可占据的量子态数量。然而，在实际计算中，由于数值稳定性和物理效应的考虑，往往需要在能量上引入虚部。本文通过具体的代码示例和运行结果，验证了格林函数计算的总态密度在能量积分上的确定性，并讨论了虚部大小对计算结果的影响。

在真实体系中，态密度（DOS）的严格数学定义是一个无展宽的分布（如 δ 函数求和），但在实际计算或实验中，由于物理效应和测量限制，总会存在一定的能量展宽。数值计算中引入的虚部 η 正是为了模拟这些展宽效应，同时也可以确保数值计算的稳定性。

在引入能量虚部后，态密度在能量上存在一定的展宽。展宽越宽，态密度的峰值越低；展宽越窄，态密度的峰值越高。这导致了计算的结果除了归一化后的分布具有一定的意义，而具体数值并不代表任何含义。本篇主要做数值验证，并指出：虽然在某个能量或者某个空间位置的具体态密度数值没有意义，但是其在能量维度上的积分是具有确定性的，即为体系的总状态数。

同样以方格子为例，代码为：

"""
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"""
import numpy as np

def hamiltonian(width=2, length=2):   # 方格子哈密顿量
    h = np.zeros((width*length, width*length))
    # y方向的跃迁
    for x in range(length):
        for y in range(width-1):
            h[x*width+y, x*width+y+1] = 1
            h[x*width+y+1, x*width+y] = 1
    # x方向的跃迁
    for x in range(length-1):
        for y in range(width):
            h[x*width+y, (x+1)*width+y] = 1
            h[(x+1)*width+y, x*width+y] = 1
    return h

def total_DOS_for_Fermi_energy_array(Fermi_energy_array, h, broadening):
    dim_energy = Fermi_energy_array.shape[0]
    dim = h.shape[0]
    total_DOS_array = np.zeros((dim_energy))
    i0 = 0
    for Fermi_energy in Fermi_energy_array:
        green = np.linalg.inv((Fermi_energy+broadening*1j)*np.eye(dim)-h)
        total_DOS = -np.trace(np.imag(green))/np.pi # 通过格林函数求得总态密度
        total_DOS_array[i0] = total_DOS
        i0 += 1
    return total_DOS_array

def main():
    plot_precision = 0.0001 # 画图的精度/积分的精度
    Fermi_energy_array = np.arange(-5, 5, plot_precision)
    h = hamiltonian()
    for broadening in [0.5, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001]:
        total_DOS_array = total_DOS_for_Fermi_energy_array(Fermi_energy_array, h, broadening)
        sum_up = np.sum(total_DOS_array)*plot_precision
        print(f'Broadening为{broadening}时的积分结果：{sum_up}')

if __name__ == '__main__':
    main()  

运行结果（plot_precision = 0.0001 # 画图的精度/积分的精度）：

Broadening为0.5时的积分结果：3.722565274835012
Broadening为0.1时的积分结果：3.944231849213829
Broadening为0.01时的积分结果：3.9944220100670997
Broadening为0.001时的积分结果：3.9994421998396357
Broadening为0.0001时的积分结果：4.014911712780062  

运行结果（plot_precision = 0.001 # 画图的精度/积分的精度）：

Broadening为0.5时的积分结果：3.72256527200912
Broadening为0.1时的积分结果：3.9442318486167713
Broadening为0.01时的积分结果：3.994422009997701
Broadening为0.001时的积分结果：4.014409692612366
Broadening为0.0001时的积分结果：13.148488227594502  

运行结果（plot_precision = 0.01 # 画图的精度/积分的精度）：

Broadening为0.5时的积分结果：3.7225649903254823
Broadening为0.1时的积分结果：3.944231789945488
Broadening为0.01时的积分结果：4.009389496911136
Broadening为0.001时的积分结果：13.147986206850222
Broadening为0.0001时的积分结果：127.36578383963219  

结论：

• 格林函数计算的总态密度在能量积分上具有确定性，为体系的总状态数，这里状态数为 4。
• 当 broadening 太小时，这时候需要比较高的积分精度才可以算到准确的数值。
• 当 broadening 太大时，即使有比较高的积分精度也算不到准确的数值，这是因为不同能级的展宽之间出现交叠，具体参考：用格林函数计算态密度时费米能中虚部的取值。
• 在实际计算中，可以把这个总态密度在能量上积分结果作为判断能量虚部 η 大小选取的合理性。