自动控制原理及应用
自动控制原理及应用
在自动控制领域，二阶系统是最基本也是最重要的系统类型之一。其动态性能指标，如上升时间、峰值时间、超调量和调节时间，是评价系统性能的关键参数。本文将详细介绍这些指标的计算方法及其在工程实际中的应用。
通常，工程实际中往往习惯把二阶系统设计成欠阻尼工作状态。此时，系统调节灵敏，响应快，且平稳性也较好。而过阻尼和临界阻尼系统的响应过程，虽然平稳性好，但响应过程缓慢。所以，采用欠阻尼瞬态响应指标来评价二阶系统的响应特性，具有较大实际意义。
下面重点推导二阶系统欠阻尼情况下的动态性能指标。
（1）上升时间tr
根据tr的定义，当t=tr时，c（tr）=1。由式（3-18）可得
由于上升时间tr是响应曲线第一次达到输出稳态值的时间，故取ωdtr=π-β，因此有
（3-23）
（2）峰值时间tp
根据tp的定义，将式（3-18）对时间t求导数，并令其为零，可求出tp为
由于峰值时间tp是响应曲线达到第一个峰值所需的时间，故ωdtp=π，则
（3-24）
（3）超调量σ%
将tp=π/ωd代入欠阻尼二阶系统单位阶跃响应式（3-18）中，求得c（tp）=1+
，而c（∞）=1，所以有
（3-25）
由式（3-25）可见，最大百分比超调量σ%仅由ζ决定，ζ越小，超调量越大。当ζ=0时，σ%=100%；而当ζ=1时，σ%=0，此时系统响应无超调。
（4）调节时间ts
调节时间ts定义为响应曲线进入并保持在允许的误差带内（±2%或±5%）所需要的最短时间，即
根据式（3-18）系统单位阶跃响应表达式及c（∞）=1，可得
（3-26）
根据式（3-26）直接求解出ts的表达式极为困难。如图3-15所示，1±
是系统的单位阶跃响应衰减振荡曲线的包络线。可以看出，只要包络线进入误差带，则响应曲线一定进入误差带。所以式（3-26）可近似为
≤Δ，因此可求得调节时间为
图3-15 二阶系统单位阶跃响应包络线
（3-27）
当0<ζ<0.9时，由式（3-27）可进一步得到
（3-28）
由以上讨论可得到如下结论：
① 一般情况下，系统在欠阻尼情况下工作。但是ζ过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，暂态特性品质差。应该注意，超调量只和阻尼比有关。因此，通常可以根据允许的超调量来选择阻尼比ζ。
② 调节时间与系统阻尼比ζ和ωn这两个特征参数的乘积成反比。在阻尼比一定时，可通过改变ωn来改变暂态响应的持续时间。ωn越大，系统的调节时间越短。
③ 为了限制超调量，并使调节时间ts较短，阻尼比一般在0.4～0.8之间，这时阶跃响应的超调量将在1.5%～25%之间。
[例3-1] 试求如图3-16所示系统的超调量σ%、峰值时间tp和进入±5%误差带时的调节时间ts。
图 3-16 例3-1系统结构图
[解] 由图求得系统传递函数，并化为标准形式，然后通过公式求出各项特征量及瞬态响应指标。
所以ωn=
=0.2，ζ=0.2。因此按照相应的指标公式，可得