无阻尼的振动模型

无阻尼的振动模型

一般我们研究振动模型有两种：简谐振动和阻尼振动。其中简谐振动有简单的公式可以计算出周期、振幅、相位等数据；而阻尼振动情况稍为复杂。

在这里我们考虑不存在阻尼或阻尼很小可以忽略的情况下受滑动摩擦（或类似的阻力）的振动情况。如图所示，弹簧振子在粗糙的水平面上运动，忽略阻尼，则除了受弹簧对它的力外，还受地面的摩擦力。

设F为振子受的合力，F’为振子受弹簧的力，f为地面对其的摩擦力。弹簧劲度系数为k，地面滑动摩擦系数为u。X为弹簧伸长量。

把振子拉出一定距离后松开，我们将观察到什么呢？是无规则的振动，还是象简谐振动一样呢？

答案是它将做类似简谐振动的来回运动，且”周期”是一定的。弹簧原长为2点处。我们对小球进行受力分析。其始点为4点此时受F1和f。合力F’=F1-f=kX1-f。在2点右边取3点，长度为s=f/k。设球到3点距离为S1。则有F’=kS1。易得，振子将以3点为平衡位置做简谐振动，振幅为S1，周期为T=2π(m/k)^1/2。根据振幅，我们找到4的对称点1，小球运动半个周期到达1点。

到1点后，运动方向反向，则摩擦力f也反向。同理易得（如图，），振子的平衡位置3’点变为2的左侧s=f/k处。此时弹簧仍做简谐运动，但是振幅减少为S2=S1-2s。周期不变。半个周期后，振子将运动到图中4’处。这时，只要拉力够大，就会重复前面来回的两个过程。

过程中周期T=2π(m/k)^1/2，保持不变。每经过半个周期，振幅Sn=S1-2ns（其中s=f/k），呈规律性递减。因此，我们可以知道振子任意时刻的运动状态和位置！

阻尼振动中所受的摩擦阻力中，一般来说，往往是考虑介质的粘滞阻力。在物体运动速度甚小的情况下，粘滞阻力的大小与物体运动速度的大小v成正比。

然而，现实生活中振动也会出现阻力不变的情况，如受滑动摩擦，其大小正比于压力。在这种情况下用阻尼振动的模型分析显然不适合，因此可以使用本文的模型进行分析。

总的来说，本文的模型适用于物体在往复运动中受到大小恒定，方向只与运动方向相反的力作用下的情况。