中考数学必考：解直角三角形六种类型及解析

中考数学必考：解直角三角形六种类型及解析

解直角三角形是中考数学中的重点和难点，掌握其实际应用对于提高解题能力和应对中考具有重要意义。本文将详细介绍解直角三角形的六种常见类型及其解题方法，帮助学生在二轮复习中突破这一难点。

一、解直角三角形的基本概念

解直角三角形是指在直角三角形中，已知某些边或角的大小，求出其他边或角的大小。在直角三角形中，已知除直角外的两个元素（至少有一个是边），可以求出其余三个元素。

二、解直角三角形的实际应用类型

1. 测量高度问题

例题： 如图1所示，某建筑物AB的高度未知，从点C测得建筑物顶部A的仰角为30°，从点D测得建筑物顶部A的仰角为45°，CD=20m。求建筑物AB的高度。

解析： 设AB=x，则在Rt△ACB中，tan30°=x/(CD+BD)，在Rt△ADB中，tan45°=x/BD。联立两个方程，解得x=10(√3+1)m。

2. 测量距离问题

例题： 如图2所示，某河流的一岸有一棵树A，对岸有一棵树B，从点C测得A的仰角为30°，从点D测得B的仰角为45°，CD=100m。求AB的距离。

解析： 设AB=x，则在Rt△ACB中，tan30°=x/(CD+BD)，在Rt△ADB中，tan45°=x/BD。联立两个方程，解得x=50(√3+1)m。

3. 测量角度问题

例题： 如图3所示，某建筑物AB的高度为100m，从点C测得建筑物顶部A的仰角为30°，从点D测得建筑物顶部A的仰角为45°，CD=100m。求∠ACD的大小。

解析： 在Rt△ACB中，tan30°=100/(CD+BD)，在Rt△ADB中，tan45°=100/BD。联立两个方程，解得BD=100m，CD+BD=200m。因此，∠ACD=arctan(100/200)=30°。

4. 测量面积问题

例题： 如图4所示，某梯形ABCD的上底AB=10m，下底CD=20m，高AD=10m。求梯形ABCD的面积。

解析： 梯形的面积公式为S=(上底+下底)×高÷2。将已知数值代入公式，得S=(10+20)×10÷2=150m²。

5. 测量体积问题

例题： 如图5所示，某圆锥的底面半径为5m，高为10m。求圆锥的体积。

解析： 圆锥的体积公式为V=πr²h÷3。将已知数值代入公式，得V=π×5²×10÷3=250π÷3m³。

6. 测量速度问题

例题： 如图6所示，某人从点A出发，以每小时5km的速度向北行走，同时另一人从点B出发，以每小时4km的速度向东行走。两人的初始距离为10km。求两人相遇所需的时间。

解析： 设两人相遇所需的时间为t小时，则两人行走的距离分别为5t和4t。根据勾股定理，有(5t)²+(4t)²=10²。解得t=2小时。

三、总结

解直角三角形的实际应用是中考数学中的重点和难点，需要掌握各种类型的问题及其解题方法。通过本专题的学习，相信同学们能够更好地掌握这一知识点，为中考取得好成绩打下坚实的基础。