黎曼积分求解可微曲线的弧线长度

黎曼积分求解可微曲线的弧线长度

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/zhangphil/article/details/78940233

黎曼积分是数学中一种重要的积分方法，可以用来求解各种复杂函数的积分值。本文将介绍如何使用黎曼积分来计算可微曲线的弧线长度，这是一个在数学、物理和工程等领域都有广泛应用的重要问题。

假设曲线y=f(x)在区间[a,b]内光滑、可微且连续。那么可以根据微积分求解y=f(x)在a<= x <=b区间内形成的弧线长度。

从微分的思想入手建立数学函数式，假设s为曲线上(x,f(x))到(x+dx,f(x+dx))两点连线。这两点在水平方向的长度为dx，在垂直方向的y坐标轴长度为dy，根据直角三角形的勾股定理可知：

其中，由f’(x)=dy/dx，得到dy =f’(x) dx

从而：

即ds的长度公式最终求得为：

弧线长度是由无穷多个ds连接起来形成，这是一个积分问题。根据积分可知[a,b]的弧线长度为：

验证一个简单的二次曲线方程y=x2在[0,1]的长度：

syms x y f;  
y=x.^2;  
line=ezplot(y,[0,1]);      
set(line,'Color','r','LineWidth',0.5);      
grid on;   
hold on;
f=diff(y)
F=sqrt(1+f.^2)
S=int(F,[0,1])
 
f =
 
2*x
 
 
F =
 
(4*x^2 + 1)^(1/2)
 
 
S =
 
log(5^(1/2) + 2)/4 + 5^(1/2)/2  

图：

长度为：S = log(5^(1/2) + 2)/4 + 5^(1/2)/2