定积分上下限互换时积分值变号的数学解释

定积分上下限互换时积分值变号的数学解释

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/qq_41434069/article/details/120301238

定积分是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某区间上的累积效应。本文将通过图形和数学推导，详细解释定积分上下限互换时积分值变号的原因。

首先，考虑定积分 (\int_{a}^{b}f(x)dx) 的几何意义。它表示函数 (f(x)) 在区间 ([a, b]) 内与横轴构成的曲边梯形的面积，如图1所示：

接下来，我们将函数 (f(x)) 关于纵轴对称，得到新的函数 (f(-x))，其图像如图2所示：

显然，函数图像关于纵轴对称并不会改变曲边梯形的面积大小。因此，面积 (A) 可以表示为 (\int_{-b}^{-a}f(-x)dx)。

为了进一步分析，我们使用换元法，令 (x' = -x)。根据换元法的规则，变量替换时积分限也要相应改变。具体推导过程如下：

[
\begin{aligned}
A &= \int_{x=-b}^{x=-a}f(-x)dx\
&= \int_{-x'=-b}^{-x'=-a}f(x')d(-x') \
&=\int_{x'=b}^{x'=a}f(x')d(-x') \
&=-\int_{x'=b}^{x'=a}f(x')dx' \
&=-\int_{b}^{a}f(x')dx'
\end{aligned}
]

通过上述推导，我们可以得出结论：

[
\int_{a}^{b}f(x)dx = -\int_{b}^{a}f(x)dx
]

这个结论表明，当定积分的上下限互换时，积分值会变号。这个性质在计算定积分时非常有用，可以帮助我们简化计算过程。

总结来说，本文通过图形和数学推导，清晰地解释了定积分上下限互换时积分值变号的原因。这个结论不仅有助于理解定积分的性质，也为实际计算提供了便利。