杨氏双缝干涉实验详解

杨氏双缝干涉实验详解

杨氏双缝干涉实验是光的干涉实验的一个典型代表，由两个点波源产生干涉现象。本文将详细介绍该实验的装置、原理以及干涉条纹的位置计算。

实验装置

杨氏实验的装置如图1所示：

图 1：杨氏双缝干涉

在普通单色光源前面放置一个开有小孔 $S$ 的屏，作为单色点光源。在 $S$ 的照明范围内再放置一个开有两个小孔 $S_1,S_2$ 的屏。根据惠更斯原理，$S$ 将作为两个次波源向前发射次波（球面波），形成交叠的波场。在较远的地方放置一接收屏，屏上可以观测到一组几乎是平行的直线条纹。

为了提高干涉条纹的亮度，实际中 $S,S_1,S_2$ 通常用三个互相平行的狭缝，并且可以用目镜直接观测，而不需要屏幕接收。激光出现以后，人们可以用氦氖激光束直接照明双孔，在屏幕上即可获得一套相当明显的干涉条纹，供许多人同时观看。

干涉明暗条纹的位置

现在来分析用普通光源做杨氏实验时，由双孔出射的两束光波之间的相位差。设 $SS_1=R_1,SS_2=R_2$，用 $\varphi_0$ 代表点波源 $S$ 的初相位，则次波源 $S_1,S_2$ 的初相位分别为

\begin{equation} \varphi_{10}=\varphi_{0}+\frac{2 \pi}{\lambda} R_{1}, \quad \varphi_{20}=\varphi_{0}+\frac{2 \pi}{\lambda} R_{2}~, \end{equation}

从而

\begin{equation} \varphi_{10}-\varphi_{20}=\frac{2 \pi}{\lambda}\left(R_{1}-R_{2}\right)~. \end{equation}

由此可见，两次波之间的相位差与 $\varphi_0$ 无关，即使中 $\varphi_0$ 变了，相位差中 $\varphi_{10}-\varphi_{20}$ 也不变。

令双孔间距为 $d$, 屏幕与双孔屏间的距离为 $D$，屏幕上横向观测范围为 $X$，我们设 $d^{2} \ll D^{2}$（这被称为远场条件），$X^{2} \ll D^{2}$（这被称为傍轴条件）。

设 $S_1$、$S_2$ 离 $S$ 的距离相等，即 $R_1=R_2$, 从而 $\varphi_{10}=\varphi_{20}$，为了简化运算，可以取二者皆为 $0$，不影响结论。如图 1，从线段 $S_1S_2$ 的中点 $O$ 作 $z$ 轴垂直于双孔屏和接收屏。设接收屏上点 $P$ 的横向距离为 $X$，$OP$ 与 $z$ 轴的夹角为 $\theta$。在远场条件下，可认为 $S_1P\parallel S_2P$，在傍轴条件下可认为 $OP$ 也与它们平行。从 $S_1$ 作 $OP$ 和 $S_2P$ 的垂线交 $S_2P$ 于 $N$。则 $\overline{S_2N}$ 近似等于光程差：

\begin{equation} r_{1}-r_{2} \approx \overline{S_{2} N}=d \sin \theta \approx \frac{d x}{D}~, \end{equation}

容易得到相位差

\begin{equation} \delta(P)=\frac{2 \pi\left(r_{1}-r_{2}\right)}{\lambda}=\frac{2 \pi d}{\lambda D} x~. \end{equation}

干涉条纹的形状，即等强度线是一组纵向（即与图 1垂直）的平行直线。强度随 $\delta(P)$ 作周期性变化。干涉条纹的间距定义为两条相邻亮纹（强度极大）或两条暗纹（强度极小）之间的距离。因为两条相邻条纹之间的光程差相差 $\lambda$，令式 3中 $r_1-r_2=\Delta L=\lambda$，$ x $ 写成条纹间隔 $\Delta x$，则有

\begin{equation} \Delta x=\frac{\lambda D}{d}~. \end{equation}

由上述分析可知，当 $P$ 点处为明纹时，有

\begin{equation} x=\pm k \frac{D \lambda}{d} \quad k=0,1,2, \cdots~ \end{equation}

相应于 $k=0$ 的明纹称为零级明纹或中央明纹。相应于 $k=1, k=2, \cdots$ 的明纹，称为第一级、第二级、……明纹。

当 $P$ 点处为暗纹时，有

\begin{equation} x=\pm(2 k+1) \frac{D \lambda}{2 d} \quad k=0,1,2, \cdots~ \end{equation}

若光源中包含 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 两条谱线，则屏上有两套间距不等的条纹同时存在，它们非相干地叠加在一起，如图 2所示。

图 2：两套不相同颜色干涉条纹不相干叠加

若光源发出的是白光，则在中央零级的白色亮纹两侧，对称地排列着若干条彩色条纹。

图 3：白光的杨氏双缝干涉图样（图片来自维基百科）