从一道高考题谈起：微积分入门的关键一步

从一道高考题谈起：微积分入门的关键一步

本文通过一道2022年高考数学题，深入浅出地介绍了微积分入门知识，包括三角函数不等式的证明、重要极限的推导，以及学习顺序中常见的逻辑误区。

1. 一道比较大小的高考题

这是2022年高考数学甲卷的第12题：

比较的大小。

这题有很多种解法，最直接的就是麦克劳林展开求三角函数的近似值，和第一个有理数进行比较，过程就是计算器的计算方法，这样就成了小学难度的题。

这里我们用一个不涉及微积分的高中方法来解决，并由此讲到我们是如何开始学习微积分的。

2. 用面积法证明三角函数不等式

要比较三者的大小，我首先要证明一个这样的不等式，并且不能使用如麦克劳林展开等的任何微积分内容。

从函数图像上看，这似乎是显然的，但我们并不知道图形在原点处是相切的，我们还需要用一些方法来证明，这里我们用面积这样的几何方法来证明这个不等式。

我们学过弧度制和任意角的三角函数的定义，用到了单位圆(unit circle)与三角函数线。这里我们也会用到三角函数的定义：

在单位圆中，弧度为的角所对的弧长为，是对应角的终边与单位圆交点的纵坐标，而横坐标就是，在图上就是弦长的一半。正弦就是角正对的，余弦就是余角所对的。上下对称一下可以看到圆心角所对弦长小于弧长，也就证明的第一部分。在第一象限中，是对应角的终边与单位圆的切线交点的纵坐标，正切就是角正对的切线长。

要完整证明这个不等式，我们可以利用一下上面的几何定义：

三角函数的定义

我们在第一象限画一个弧度为的角所对的弦和弧分别与始边和终边围成的等腰三角形和扇形，还有切线与始边和终边围成的直角三角形，利用公式分别计算面积：

• 等腰三角形的面积是。
• 扇形的面积是。
• 直角三角形的面积是 。

从图上我们可以明显比较出面积是等腰三角形在扇形内部，扇形在直角三角形内部，也就证明了这个不等式：

3. 利用不等式解题

我们首先比较和，可以用作商法(Division)：

我们用到了，得到第一个大小关系：

接下来比较和，由于都接近1，可以先用二倍角公式处理一下：

再用作差法(Subtraction)：

我们用到了，得到第二个大小关系：

如果没有观察出来其中的关系也不要紧，我们仍然可以用常规方法，我们至少可以看到它们都是关于的，写成：

我们设函数

接下来用导函数研究其性质：

我们知道这个函数在为减函数，那么

所以时也成立，得到了相同的结果。

最终我们得到结论：

我们用计算器看一下具体数值：

4. 证明第一个重要极限

在我们开始学习微积分时，会首先单独学习两个重要极限。

第一个重要极限是：

第二个重要极限是：

其中第二个就是自然对数底的定义，也就是我们高中学习对数函数时凭空出现的一个无理数。我们知道圆周率是任意圆的周长与直径的比值，而这个常数是源于经济学中的无限複利的计算问题。当然，这只是一个理论上的模型，并没有实际意义。

这里我们主要讨论第一个重要极限的证明

我们有不等式：

由此得到：

从这个不等式和已知的极限：

我们可以利用夹逼定理(squeeze theorem)，又称为三明治定理证明这个极限：

5. 学习顺序与一个容易出现的逻辑谬误

在学习微积分时，我们首先学习了微积分中的两个重要极限，在求极限时可用的只是等价无穷小(Asymptotic equivalence)，再学习了用极限定义的导函数，在应用的部分利用洛必达法则再去通过导函数解决求极限的问题，也有了利用麦克劳林展开成多项式求极限的办法。

既然洛必达法则如此便利，那么我们为什么还要先学习重要极限呢？

如果我们像下面这样用洛必达法则证明这个极限，根据洛必达法则，我们对分子和分母分别求导：

• 分子的导函数为 ，
• 分母的导函数为 1。

带入就得到

但是我们先要证明 ，我们就要用到导函数的极限定义：

对于：

利用三角函数的两角和公式：

带入极限：

我们把分子拆分成两部分：

提取：

现在我们需要求两个极限，利用半角公式：

第二个极限可以进一步转化为：

把这个结果带入我们的表达式，我们避开了一次那个极限：

但最终我们还是必须用到重要极限：

才能得到：

这个逻辑谬误就是循环论证(circular reasoning)，也就是用自身去证明自身，所以我们要搞清楚先有鸡还是先有蛋，很明显先证明了重要极限，才有导函数公式，这就是其重要的原因。