正弦波的可视化

正弦波的可视化

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/flyfish1986/article/details/140172404

正弦波的可视化

波的基本概念

• 振幅 (Amplitude)：波峰或波谷到参考线（零点）的垂直距离。
• 波峰 (Crest)：波形的最高点。
• 波谷 (Trough)：波形的最低点。
• 波长 (Wavelength)：从一个波峰到下一个波峰的水平距离。
• 相位偏移 (Phase Shift)：波形的横向位移量。

正弦波的数学公式

正弦波的通用公式为：

$$
y(t) = A \sin(2\pi f t + \phi)
$$

其中：

• $y(t)$：波在时间$t$时的振幅值。
• $A$：振幅（Amplitude），表示波的最大值。它决定了波形的高低程度。
• $2\pi f$：角频率（Angular frequency），其中$f$是频率（Frequency），单位是赫兹（Hz）。角频率表示波每秒内完成的周期数乘以$2\pi$。
• $t$：时间（Time），单位是秒（s）。
• $\phi$：相位（Phase），表示波形的水平偏移量，单位是弧度（radians）。相位决定了波形在时间轴上的起始点。

正弦波公式的不同表示法

正弦波的公式可以有不同的表示方式：

$$
y(t) = A \sin(\omega t \pm \theta)
$$

$$
y(t) = A \sin(2\pi f t + \phi)
$$

这两种表示法本质上描述的是相同的波形，只是使用了不同的符号来表示频率和相位。

假设我们有一个频率为 1 Hz 的正弦波，其振幅$A$为 1，相位$\phi$为$\pi/2$。在第一种表示法中：

$$
y(t) = 1 \sin(2\pi \cdot 1 \cdot t + \frac{\pi}{2})
$$

在第二种表示法中：

$$
y(t) = 1 \sin(\omega t + \phi)
$$

其中$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$，因此：

$$
y(t) = 1 \sin(2\pi t + \frac{\pi}{2})
$$

这两个公式描述的是完全相同的波形。

Python代码实现

下面的Python代码使用matplotlib库来绘制正弦波：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 定义时间范围
t = np.linspace(0, 1, 1000)  # 1秒的时间范围

# 定义参数
A = 1        # 振幅
f = 1        # 频率，1 Hz
omega = 2 * np.pi * f  # 角频率
phi = np.pi / 2  # 相位

# 计算波形
y1 = A * np.sin(omega * t + phi)
y2 = A * np.sin(2 * np.pi * f * t + phi)

# 绘制波形
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(t, y1, label='$y(t) = A \sin(\omega t + \phi)$')
plt.plot(t, y2, linestyle='--', label='$y(t) = A \sin(2\pi f t + \phi)$')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.title('正弦波的两种表示法')
plt.xlabel('时间 $t$')
plt.ylabel('振幅 $y(t)$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

相位偏移的可视化

下面的代码展示了带有相位偏移的正弦波：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 定义正弦波函数
def sine_wave(t, A=1, f=1, phi=0):
    return A * np.sin(2 * np.pi * f * t + phi)

# 时间范围
t = np.linspace(0, 2, 1000)  # 2秒的时间范围

# 参数设置
A = 1         # 振幅
f = 1         # 频率，1 Hz
phi = np.pi / 4  # 相位，π/4 弧度

# 计算波形
y_no_phase = sine_wave(t, A, f, 0)  # 没有相位偏移
y_with_phase = sine_wave(t, A, f, phi)  # 有相位偏移

# 计算波峰和波谷位置
crest_pos = 1 / (4 * f)
trough_pos = 3 / (4 * f)

# 绘制波形
plt.figure(figsize=(12, 8))

# 绘制没有相位偏移的波形
plt.plot(t, y_no_phase, label='$y(t) = A \sin(2\pi f t)$')

# 绘制有相位偏移的波形
plt.plot(t, y_with_phase, linestyle='--', label='$y(t) = A \sin(2\pi f t + \phi)$')

# 标示相位
plt.axvline(x=0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axhline(y=0, color='black', linewidth=0.5)
plt.scatter([0, -phi / (2 * np.pi * f)], [0, 0], color='red', label='相位偏移点')  # 相位偏移点
plt.text(-phi / (2 * np.pi * f) - 0.05, 0.1, r'$-\frac{\phi}{2\pi f}$', color='red', fontsize=12, ha='center')

# 标示波峰、波谷
plt.scatter([crest_pos, trough_pos], [A, -A], color='blue')  # 波峰和波谷
plt.text(crest_pos, A + 0.1, '波峰', color='blue', fontsize=12, ha='center')
plt.text(trough_pos, -A - 0.2, '波谷', color='blue', fontsize=12, ha='center')
plt.text(1/f, -1.5, '$\lambda$', color='purple', fontsize=12, ha='center')

plt.title('正弦波及其相位偏移')
plt.xlabel('时间 $t$')
plt.ylabel('振幅 $y(t)$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

通过上述代码，我们可以直观地看到正弦波的波形及其相位偏移的效果。