严格推导质点曲线运动的运动学方程
严格推导质点曲线运动的运动学方程
前言
相当一部分物理学书籍在推导质点曲线运动的运动学方程时，采用的都是先建立位移的微元Δ r ⃗ \Delta \vec{r}Δr，然后几何近似求极限的方法。这种方法虽然能得到正确的结论，但数学上的严格性略有欠缺，且过程繁琐。考虑到使用书籍的主要读者是大学一年级的学生，在微积分和高等代数的知识储备不足的情况下，这确实是一种不得已而为之的办法。然而在具备相关数学基础之后，建立质点曲线运动的运动学方程的过程其实是非常严格和简洁的。下面将介绍这种方法。
曲线运动在直角坐标系中的运动方程
质点在时刻t tt的位矢如下图所示。质点做的是曲线运动，位矢的长度与角度都是时间的函数
r = r ( t ) , θ = θ ( t ) r=r(t),\theta=\theta(t)r=r(t),θ=θ(t)
因此接下来我们在对时间求导时需要同时考虑r rr和θ \thetaθ。
在直角坐标系中，位矢可以用x xx轴与y yy轴的单位矢量e x \boldsymbol{e_x}ex 与e y \boldsymbol{e_y}ey 来表示：
r = r cos θ e x + r sin θ e y \begin{equation} \boldsymbol{r}=r\cos \theta \boldsymbol{e_x}+r\sin \theta \boldsymbol{e_y} \end{equation}r=rcosθex +rsinθey
对式( 1 ) (1)(1)求导即得到速度的方程。根据链式求导法则可以得到:
v = r ˙ = ( r ˙ cos θ − r θ ˙ sin θ ) e x + ( r ˙ sin θ + r θ ˙ cos θ ) e y \begin{equation} \boldsymbol{v}=\dot{\boldsymbol{r}}=(\dot{r}\cos \theta- r\dot{\theta}\sin \theta)\boldsymbol{e_x}+(\dot{r}\sin \theta+r\dot{\theta}\cos \theta )\boldsymbol{e_y} \end{equation}v=r˙=(r˙cosθ−rθ˙sinθ)ex +(r˙sinθ+rθ˙cosθ)ey
继续对( 2 ) (2)(2)式求导就得到了加速度的方程：
a = v ˙ = [ ( r ¨ − r θ ˙ 2 ) cos θ − ( 2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ ) sin θ ] e x + [ ( r ¨ − r θ ˙ 2 ) sin θ + ( 2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ ) cos θ ] e y \begin{equation} \boldsymbol{a}=\dot{\boldsymbol{v}}=[(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2 )\cos \theta-(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\sin \theta]\boldsymbol{e_x}+[(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2 )\sin \theta+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\cos \theta]\boldsymbol{e_y} \end{equation}a=v˙=[(r¨−rθ˙2)cosθ−(2r˙θ˙+rθ¨)sinθ]ex +[(r¨−rθ˙2)sinθ+(2r˙θ˙+rθ¨)cosθ]ey
至此我们建立了在直角坐标系下的运动学方程。
曲线运动的极坐标方程
现在我们将以上运动方程用径向单位矢量e r \boldsymbol{e_r}er 与切向单位矢量e t \boldsymbol{e_t}et 来表示。首先我们建立两个坐标系的转换关系，从示意图上我们可以得到：
e r = cos θ e x + sin θ e y , e t = − sin θ e x + cos θ e y \begin{equation} \boldsymbol{e_r}=\cos \theta \boldsymbol{e_x}+\sin \theta \boldsymbol{e_y},\boldsymbol{e_t}=-\sin \theta \boldsymbol{e_x}+\cos \theta \boldsymbol{e_y} \end{equation}er =cosθex +sinθey ,et =−sinθex +cosθey
将( 4 ) (4)(4)式与( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) (1),(2),(3)(1),(2),(3)式结合，整理后即得到位矢、速度、加速度的极坐标表达式。
位矢：
r = r e r \begin{equation} \boldsymbol{r}=r\boldsymbol{e_r} \end{equation}r=rer
速度：
v = v r + v t = r ˙ e r + r θ ˙ e t \begin{equation} \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v_r}+\boldsymbol{v_t}=\dot{r}\boldsymbol{e_r}+r\dot{\theta}\boldsymbol{e_t} \end{equation}v=vr +vt =r˙er +rθ˙et
加速度：
a = a r + a t = ( r ¨ − r θ ˙ 2 ) e r + ( 2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ ) e t \begin{equation} \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a_r}+\boldsymbol{a_t}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2 )\boldsymbol{e_r}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\boldsymbol{e_t} \end{equation}a=ar +at =(r¨−rθ˙2)er +(2r˙θ˙+rθ¨)et
至此我们建立了质点曲线运动在极坐标下的运动方程，其速度、加速度都可以写成径向与切向两个分量的矢量和。
更简洁的代数方法
事实上，由于R \mathbb{R}R上的任意二维线性空间与R 2 \mathbb{R}_2R2 同构，因此x xx轴与y yy轴的单位矢量e x \boldsymbol{e_x}ex 与e y \boldsymbol{e_y}ey ，以及径向单位矢量e r \boldsymbol{e_r}er 与切向单位矢量e t \boldsymbol{e_t}et ，可以看做是R 2 \mathbb {R_2}R2 的两组基向量。那么上面的问题就可以简化为，如何将一个向量在一组基下的坐标，表示为另一组基下的坐标。由于径向单位矢量e r \boldsymbol{e_r}er 与切向单位矢量e t \boldsymbol{e_t}et 是由单位矢量e x \boldsymbol{e_x}ex 与e y \boldsymbol{e_y}ey 逆时针旋转θ \thetaθ后得到的，那么我们得到下面公式
( e r e t ) = ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) ( e x e y ) = A T ( e x e y ) \begin{equation} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e_r}\ \boldsymbol{e_t}\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta& \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e_x}\ \boldsymbol{e_y} \end{pmatrix}=\bold{A}^T\begin{pmatrix} \boldsymbol{e_x}\ \boldsymbol{e_y} \end{pmatrix} \end{equation}(er et )=(cosθ−sinθ sinθcosθ )(ex ey )=AT(ex ey )
其中A \bold AA是转轴矩阵：
A = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) \begin{equation} \bold A=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta& \cos\theta \end{pmatrix} \end{equation}A=(cosθsinθ −sinθcosθ )
利用( 8 ) (8)(8)式，我们可以非常容易得到在位矢在径向单位矢量e r \boldsymbol{e_r}er 与切向单位矢量e t \boldsymbol{e_t}et 这组基下的坐标：
位矢坐标：
r = ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) ( r cos θ r sin θ ) = ( r 0 ) \begin{equation} \boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta& \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r\cos \theta\ r\sin \theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\ 0 \end{pmatrix} \end{equation}r=(cosθ−sinθ sinθcosθ )(rcosθrsinθ )=(r0 )
速度坐标：
v = ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) ( r ˙ cos θ − r θ ˙ sin θ r ˙ sin θ + r θ ˙ cos θ ) = ( r ˙ r θ ˙ ) \begin{equation} \boldsymbol{v}=\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta& \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{r}\cos \theta- r\dot{\theta}\sin \theta\ \dot{r}\sin \theta+r\dot{\theta}\cos \theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dot{r}\ r\dot{\theta} \end{pmatrix} \end{equation}v=(cosθ−sinθ sinθcosθ )(r˙cosθ−rθ˙sinθr˙sinθ+rθ˙cosθ )=(r˙rθ˙ )
加速度坐标：
a = ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) ( ( r ¨ − r θ ˙ 2 ) cos θ − ( 2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ ) sin θ ( r ¨ − r θ ˙ 2 ) sin θ + ( 2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ ) cos θ ) = ( r ¨ − r θ ˙ 2 2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ ) \begin{equation} \boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta& \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2 )\cos \theta-(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\sin \theta\ (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2 )\sin \theta+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\cos \theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \ddot{r}-r\dot{\theta}^2 \ 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta} \end{pmatrix} \end{equation}a=(cosθ−sinθ sinθcosθ )((r¨−rθ˙2)cosθ−(2r˙θ˙+rθ¨)sinθ(r¨−rθ˙2)sinθ+(2r˙θ˙+rθ¨)cosθ )=(r¨−rθ˙22r˙θ˙+rθ¨ )
由此我们得到了相同的结论。
圆周运动的情况
当质点做圆周运动时，位矢r = R e r \boldsymbol{r}=R\boldsymbol{e_r}r=Rer ，其长度恒等于半径R RR，此时r ˙ = r ¨ = 0 \dot{r}=\ddot{r}=0r˙=r¨=0，因此我们可以改写( 6 ) (6)(6)式和( 7 ) (7)(7)式，得到质点在圆周运动下的速度和加速度
速度：
v = v r + v t = R θ ˙ e t = v e t \begin{equation} \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v_r}+\boldsymbol{v_t}=R\dot{\theta}\boldsymbol{e_t}=v\boldsymbol{e_t} \end{equation}v=vr +vt =Rθ˙et =vet
因此圆周运动时质点只有切向速度，没有径向速度。我们定义角速率为ω = θ ˙ \omega=\dot{\theta}ω=θ˙，角速度的方向满足v = ω × r \boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}v=ω×r，则( 13 ) (13)(13)式可以改写为
v = ω × r = ω R e t \begin{equation} \boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}=\omega R\boldsymbol{e_t} \end{equation}v=ω×r=ωRet
加速度：
a = a r + a t = − R θ ˙ 2 e r + R θ ¨ e t = − ω 2 R e r + ω ˙ R e t = − v 2 R e r + v ˙ e t \begin{equation} \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a_r}+\boldsymbol{a_t}=-R\dot{\theta}^2 \boldsymbol{e_r}+R\ddot{\theta}\boldsymbol{e_t}=-\omega^2 R\boldsymbol{e_r}+\dot{\omega}R\boldsymbol{e_t}=-\dfrac{v^2}{R}\boldsymbol{e_r}+\dot{v}\boldsymbol{e_t} \end{equation}a=ar +at =−Rθ˙2er +Rθ¨et =−ω2Rer +ω˙Ret =−Rv2 er +v˙et
因此圆周运动时，质点既有切向加速度，也有径向加速度，径向加速度的方向指向圆心。
一般曲线运动的情况
设质点在曲线运动的某一点，对应的曲率半径为ρ \rhoρ，则方程( 13 ) (13)(13)不变，( 15 ) (15)(15)可以改写为：
a = − v 2 ρ e r + v ˙ e t \begin{equation} \boldsymbol{a}=-\dfrac{v^2}{\rho}\boldsymbol{e_r}+\dot{v}\boldsymbol{e_t} \end{equation}a=−ρv2 er +v˙et
我们发现方程( 5 ) , ( 13 ) , ( 16 ) (5),(13),(16)(5),(13),(16)并不依赖特定坐标系，因此被称为质点曲线运动的本性方程。