计量经济学中的工具变量法（IV）详解
计量经济学中的工具变量法（IV）详解
工具变量法（Instrumental Variables, IV）是计量经济学中处理内生性问题的重要方法。本文系统地介绍了IV方法的原理、应用及其相关检验，包括内生性的来源与后果、工具变量的条件、两阶段最小二乘法（2SLS）、内生性检验、弱工具变量问题以及过度识别检验。
1. 内生性（Endogeneity）
定义：指一个模型中的变量不是随机分配的，受到模型中其他变量的影响。
解释变量与误差项相关：
[Cov(X_r, u) \neq 0]
其中，(X_r)为内生自变量。
来源：
- 模型误设：函数形式错误、无关变量的包含或遗漏变量。
- 测量误差：变量值未被真实记录，如家庭收入。
- 联立性/双向因果：两个变量之间存在相互影响的关系。
- 样本选择性：样本选择过程受到被解释变量的影响。
后果：OLS估计不一致。
2. 工具变量法
定义：若(X_k)为内生的解释变量，可将其分解为与误差项(u)相关和不相关的两部分。若能找到一个或多个变量(Z)，满足以下条件：
- 工具外生性：(Z)与(u)不相关，即(Cov(Z, u) = 0)。
- 工具相关性：(Z)与(X_k)相关，即(Cov(Z, X_k) \neq 0)。
则可通过(Z)将(X_k)中与(u)无关的部分分离出来，从而识别出(X_k)对(y)的边际影响。
估计量：
[
\hat{\beta_1} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(z_i - \bar{z})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})}
]
[
\hat{\beta_0} = \bar{y} - \hat{\beta_1} \cdot \bar{x}
]
3. IV估计
考虑标准线性模型：
[y_1 = \beta_0 + \beta_1 \times y_2 + \beta_2 \times z_1 + u_1]
其中，(z_1)是外生的，与(u_1)不相关；(y_2)可能与(u_1)相关。工具变量(z_k)需要满足：
- 在结构方程中不出现；
- 与误差项不相关；
- 与内生解释变量部分相关。
4. 两阶段最小二乘法（2SLS）
工作原理：2SLS首先构造出与内生解释变量(x_k)相关度最强的工具变量的线性组合(\hat{x})，然后再用(y)对(\hat{x})做回归，从而得到一致性的估计。
步骤：
- 第一阶段：用OLS法进行(X)关于工具变量(Z)的回归，并记录(X)的拟合值。
- 第二阶段：以得到的(X)的拟合值代替(X)作为解释变量，进行OLS回归。
5. 内生性检验
方法：豪斯曼检验（Durbin-Wu-Hausman Test，DWH）
原假设：所有解释变量均为外生变量。
6. 弱工具变量问题
如果工具变量与内生变量的相关性很弱，会导致：
- 估计量的标准误可能很大。
- 即使(z)与(u)只是适度相关，IV估计量也可能有较大偏误。
- IV的(R^2)可能为负。
检验方法：在第一阶段回归中，检验所有方程外的工具变量的系数是否联合为零。若检验的F统计量大于10，则拒绝“存在弱工具变量”的原假设。
7. 过度识别检验
定义：
- 不可识别：工具变量个数小于内生解释变量个数。
- 恰好识别：工具变量个数等于内生解释变量个数。
- 过度识别：工具变量个数大于内生解释变量个数。
检验方法：
- 用2SLS法估计结构方程，获得2SLS残差(\hat{u_1})。
- 将(\hat{u_1})对所有外生变量回归，获得(R^2)，记为(R_1^2)。
- 在所有IV都与(u_1)不相关的原假设下，(nR_1^2 \sim \chi^2_q)，其中(q)是模型之外的工具变量数目减去内生解释变量的总数目。如果(nR^2)超过了临界值，拒绝原假设，推断出至少部分IV不是外生的。