想让孩子数学“开窍”？80%的老师都没教的思维训练方法
想让孩子数学“开窍”？80%的老师都没教的思维训练方法
在数学学习中，如何让孩子真正“开窍”？本文将从思维深度、严谨性和灵活性三个方面，分享一些实用的教学方法和建议。
如何训练思维深度？
做到举一反三，彻底理解难题
什么是思维的深度？让我们通过两个具体的例子来体会。
第一个例子是潜水，潜水绝不能过快，必须慢慢进行，为什么呢？因为你需要让身体逐渐适应水的深度带来的压强变化，核心原则都是缓慢，而非速成。
所以，如果我们要练习深度思考，同样的道理，首先孩子要慢下来思考。
很多家长认为学习数学是为了训练思维速度，追求快速思考。这与真正数学训练的方向背道而驰。
你有没有注意到，孩子还很小的时候，问他一个问题，孩子回答问题往往很迅速，尽管答案可能不准确。
他们思维尚未经过训练，是一种自然而然、迅速而不太有逻辑性的状态。而真正的数学训练目标是什么呢？准确性和逻辑性。因此，真正经过数学思维训练后，思考会变得更加深入、更加缜密。
第二个例子是盲人摸象。数学里有很多非常抽象的概念，就像盲人摸象一样，我们试图通过触摸来理解大象的本质，如何做到呢？如果你只摸一部分，比如它的鼻子、身体、尾巴和四条腿，这就足以了解大象吗？你可能会形成一个片面的认知，但这个认知显然是错误的。
如何才能真正理解本质呢？首先，不能只摸一次，你需要摸很多次。然后，找出它们共有的特征，比如长鼻子、高大等等。但仅仅摸大象还不够，你还需要摸其他动物，找出它们不同之处，这就是比较和联系。
数学学习正是这样一个过程。如果你只做一道题，或者只做一类题，是无法真正理解数学知识，也无法抓住本质的。如果孩子能尝试从一道题目中找出变化，并找到其中不变的部分，才能真正把握住问题的本质，学会深度思考，灵活应变。
怎样才能进行深度思考？
一个很好且实用的方法是通过做笔记追记。你可以先在课上全力听老师讲解的内容，然后在课后以追记的形式将你在课上学到的内容写下来。
这个过程首先能让你的思考放缓，特别是数学的推理过程，和写故事是相似的。我常常将笔记追记比作写故事，将老师课上有逻辑性的讲解编写成一个连贯的故事。一堂优秀的数学课程实际上就是在讲述一个故事，从起因开始，逐步发展，一直到高潮和结局。
笔记追记是一个很好的方法，让孩子根据脉络推导出课程内容，并不依赖于老师怎么讲，而是自己重新构建的理解。这正是笔记追记的精髓，绝不是简单地记住老师的讲解并写下来。这个故事如果你写得不生动，你可能只会写一些常见的内容，死记硬背一些概念，死板地写一些习题，无法体会到这堂课的与众不同，你只是记住了知识点，但并未真正理解传递给你的数学思维和思想。
如果你的故事在某些地方衔接不流畅，每个转折点都感觉不太自然，那么说明你没有真正把握住其中的逻辑联系。
老师一堂课几万字的输出，学生如何抓住老师讲的重点？笔记追记也是一个很好的检验方法，你是否能根据老师的讲解内容自行推导出重要部分，这是深度学习数学的良好标准。
所以，当新学期开始后，也许大家没有足够多的时间在每堂课后都进行笔记追记，但至少可以做到在听完课后，将一些关键信息简单地记录下来，绘制一个思维导图，然后思考细节。
如果你在某些地方没有清晰地思考，可能会有一些问题需要补充。尽管这个过程可能只需要5分钟左右，但它的效果要比花一个小时或两个小时写作业好得多。
如何寻找在变化中寻找保持不变的元素？
第一个方法是，对于结构相对简单的问题，你可以改变条件，看看问题会有何变化。
第二个方法适用于结构较为复杂的问题，寻找与之类似的题目。
比如，简单地改动条件里的一些数字，它也可以检验你的方法是否正确。
你还可以尝试做一些要素变化后的同类题，然后发现，你之前的方法是否仍然适用？如果适用，那就是本质了。
如果不适用，你就需要思考：
为什么不能用？有什么不同之处？什么情况下会再次适用？……
这些问题将引导你深入思考。
如果你只限制在做单一的题目，那你就像是盲人摸象，只摸了一部分，是无法全面把握题目的本质的。做题也是一样的道理。所以，真正的举一反三，要注意题目的变化，同时寻找变化中保持不变的元素。
如何提升思维的严谨性
什么是思维的严谨性？我想用一个比喻来说明——如何在一个充满地雷的区域中安全行走。
想象一下，如果你要在现实的战场上扫雷，首先你需要一个地雷探测器，以便知道地雷的位置。然后，一旦探测出地雷，你还需要知道如何排除它，怎么样才能避开雷的区域。
这两个动作应用到我们数学学习中，第一个动作就是审题的方法。
在审题时，你是否注意到，很容易就能得出正确的答案？但是，如果你在读题时匆忙阅读，或忽略了细节，尤其是读得很快，那你的思维就会变得不严谨。
因此，提高审题能力对于培养严谨的思维方式是至关重要的。如果你想要思维严谨，首先要保证在审题时思维严谨。
另外一个重要的方面是概念学习，就像我们在训练自己如何严谨地思考概念。
举个例子，如果我们有一个方程，a的平方等于 4，那么 a 等于几？很多同学可能会直接说——a 等于2。然而，这显然是不严谨的思维，忽略了-2。
为什么会这样？很多学生没有考虑到所有的可能性，直接给出了答案，这是他们的思维定势。另一方面显然涉及到概念的问题。很多学生在小学阶段只学过正数，但还没有接触过负数。当他们在考虑可能性时，就没有考虑到负数。如果你单独问他，他可能会知道，但是他还没有完全掌握这个概念，他还没有将复数纳入他的思维过程中，所以他容易出错。
怎么办？我想给大家介绍一个方法，那就是让学生自己去定义概念。这样就能够避免这种错误的发生。
举个例子，问问孩子，能够定义什么是同类项吗？
他可能会定义：两个完全相同的单项式叫做同类项。
这时候接着问：这个定义是否存在反例？
如果他提出了反例，那就请他再重新定义一次，也许这时候他会说：是除了系数以外，其他部分都完全相同的两个单项式。
然后你再问他，什么是其他部分？其他部分具体是指什么呢？……
经过几轮的追问，孩子可能会发现，最严谨的定义应该是：字母相同且字母次数也相同的两个单项式，才能称之为同类项。
通过这样反复定义，可以培养孩子思维的严谨性。天天在考试中犯错的孩子，但关键在于，他们能否在犯错之后，以一种严谨的方式进行思考。这需要老师引导，以及培养他们能够习惯性地按照严谨的思维方式来思考问题。
如何提高思维的灵活性
我们一直说数学的知识只是学习的一个最基本的载体，但真正有用的是什么呢？是数学思维。通过知识的学习来训练思维，才是数学学习的真正意义所在。接下来，我们来讲如何提升思维的灵活性。
我再给大家讲个故事，《射雕英雄传》里的黄蓉就是一个思维特别灵活的人。她的知识面非常广博，而且她掌握的知识都有联系。另外，她善于换一个角度来思考问题，而不是只站在自己的角度。
具体到数学中，第一个是要在系统学习知识的同时建立联系，也就是说，孩子要学会换角度思考，但你也得有可供选择的不同角度。如果某个知识点是僵化的，只有一种思考方式，你就会受限制。需要有多个思考路径，这样你才能灵活应对问题。
在学习数学知识的过程中，你需要将不同的知识点联系起来学习。我们经常给学生举一个例子，假设有三个知识点，分别是a、b和c，如果你都要学习三遍的话，那么你总共需要学习九遍，对吗？
但是，如果你能够将a与b和c联系起来，将b与a和c联系起来，将c与a和b联系起来，那么你只需要学习三遍，每个知识点都能够复习三遍。这样的学习效率是不是前者的三倍？
数学知识也是如此。数学学习不仅仅是单纯地苦学和记忆知识点，它必须在一个系统的框架中学习，以便将知识点之间的联系弄清楚。这样，你才能够以不同的角度来理解这些知识点，形成所谓的知识网络，对吗？所以，这是第一个要求。
第二个要求是多解法。现在许多学生的学习方式是，老师上课讲解一个知识点，然后布置相关的作业，学生会根据这个知识点来解决作业，解出来后感到非常高兴。
但是这种情况下，一旦遇到期末考试，甚至更大范围的综合性考试，如中考或高考，这些学生的成绩下滑得非常厉害。
思维定势在某些情况下是有好处的，它能够提高解题速度，对吗？但它也有弊端，它会限制你真正的思考，让你只从那个特定的角度去思考问题，而不是真正理解这个知识。因此，在这种情况下，许多学生养成了思维定势，对于一个题目只掌握了一种解法，但不能灵活应对不同情况。
那么，如何打破这种情况呢？多解法就是非常有效的方法。为什么说它能够打破思维定势呢？实际上，当你用一种方法解决一个问题后，你是否已经形成了思维定势？你是否已经认为这个题只能用这个方法解决，不愿意考虑其他方法？我相信许多学生和家长都有这样的感受，一旦用一种方法解决了一个题，后来就不愿意再考虑其他方法了。
在这种情况下，如果你想要提出第二种解法，你必须能够打破思维定势才行。因此，一题多解的要求实际上是强制性的，它迫使你去打破思维定势。一旦你想到一种解法后，就要尝试从不同的角度再次思考，不要停留在已有的固定思路中，这需要心理上的强大训练。
然而，要注意思维的多样性也需要较适合的题目难度。为什么？首先，你需要选择题目，这些题目应该有多种解法，最好是不同解法之间的思维距离较大，这样的多解才能更好地锻炼思维的灵活性。
但是要找到这种既有多解法又思维距离较大的题目，对学生来说通常是很困难的。如果自己寻找这样的题目有困难，我提供了一个替代方案——多做不同类型的题目。
当你用一种方法解一个题后，尝试将这种方法应用到另一个题目时，你可能会发现它不适用。这时你需要重新思考，再尝试下一个题目。在每一次重新思考的过程中，你需要根据具体情况来解题，不能简单地套用以前学过的某种方法或思维定势。这也有助于打破思维定势。
这个方法可以在某种程度上帮助孩子提高思维的灵活性，这也需要一些支持引导，给孩子们心理和兴趣上的助力，帮助他们改变这种思维习惯。