量子力学中的角动量：从经典到现代理论的全面解析
量子力学中的角动量：从经典到现代理论的全面解析
角动量是量子力学中的一个核心概念，它描述了粒子的旋转性质。本文将从经典角动量L开始，逐步介绍球坐标系下的角动量算符、角动量多重态、旋转变换、角动量加法以及张量积空间的角动量分解等内容。
一、经典角动量L
- 定义：L=r×p
在量子力学中，位置算符 r和动量算符p=−iℏ∇ 需满足对易关系 [xi,pj]=iℏδij。由此，角动量算符的各个分量为：
1
平方算符L²表示：
2
2.球坐标系下的角动量算符
球坐标系**：x = r sinθ cosφ，y = r sinθ sinφ，z = r cosθ，r = √(x² + y² + z²)**
px= -iħ ∂/∂x，py= -iħ ∂/∂y，pz= -iħ ∂/∂z
笛卡尔坐标系下的角动量算符，转换为球坐标系 (r,θ,ϕ)，角动量算符的微分形式：
将 Lx、Ly和 Lz的表达式平方后展开并相加,L²可表示为:
与拉普拉斯算符的角度部分直接相关，即 ∇²可分解为径向和角度部分：
3.本征方程和球谐函数
L²的本征方程：
注：其本征值的求法，参阅前文《薛定谔方程的角向部分得到 L² 的本征方程，本征值l(l+1)》！
4、角动量对易关系
且 L²与各分量 Lz对易（[L²,Lz]=0）。
L²和 Lz的对易性表明，系统的总角动量大小和某一方向分量可以同时确定。
这一性质是角动量量子化的基础，例如原子轨道的 l和 m量子数分别对应 L² 本征值(ℏ²l(l+1))和 Lz的本征值(ℏm)。
通过引入升降算符 L±=Lx±iLy，可构造角动量代数，证明本征值的量子化形式：
这一代数结构（SU(2)李代数）直接导致本征值 ℏ²l(l+1)，而非经典连续的平方值.
二、角动量多重态
在量子力学中，角动量多重态(AngularMomentum Multiplet）是指具有相同总角动量量子数 j（或 l、s）的一组量子态。这些态由不同的磁量子数 mj（或 ml、ms）区分，形成一个简并的态集合。
角动量多重态是量子系统对称性和简并性的直接体现，其维度由量子数j决定（2j+1）。理解多重态是分析原子结构、粒子物理和量子态操控的基础。
1、定义
总角动量算符：J²（可以是轨道角动量L、自旋角动量S，或总角动量J=L+S）
本征方程：
- 简并性：在无外场时，同一 j的不同 mj态能量相同（简并）。
- 对称性体现：多重态的结构反映了系统的旋转对称性。例如：
- 轨道角动量l的多重态对应原子中电子的不同空间取向（如 s-轨道l=0、p-轨道l=1 等）。
- 自旋多重态描述粒子自旋的可能取向（如电子自旋 s=1/2，对应ms=±1/2）。
2、外场中的行为
3、角动量耦合与多重态叠加
4、典型例子
（1）轨道角动量多重态（l多重态）
对于氢原子中的电子：
（2）自旋多重态
（3）总角动量多重态（j多重态）
当轨道角动量l与自旋s耦合时，总角动量 j=l±s
例如，电子在p-轨道（l=1，s=1/2）：
三、旋转变换
在量子力学中，旋转变换是线性变换的核心操作之一。
1、角动量算符的代数结构与对称性
角动量算符 J1,J2,J3是旋转对称性的生成元，满足李代数对易关系：
总角动量平方算符
与各分量对易（[J²,Ji]=0），其本征值为 ℏ²j(j+1)，表征角动量多重态的简并性。
J²描述系统总角动量的大小，Ji描述其在特定方向的分量。
对称性要求哈密顿量在旋转下不变时（[H,Ji]=0，角动量守恒。
2、升降算符与角动量的量子化
升降算符 J±=J1±iJ2是角动量代数的核心工具，结合本征方程
其作用为改变磁量子数 m：
3、泡利矩阵：自旋角动量的具体表示
（1）自旋的引入与实验基础
自旋是粒子的内禀角动量，与空间运动无关。实验现象（如斯特恩-格拉赫实验）表明：
（2）泡利矩阵的数学性质
泡利矩阵 σ1,σ2,σ3是 2×2厄米矩阵，满足以下关系：
这些性质与角动量代数结构一致，但多了一个因子 2。
为了使泡利矩阵的代数匹配角动量算符的对易关系，定义：
代入对易关系验证：
可见系数 ℏ/2的引入使得代数结构严格满足角动量对易关系。
本征值的匹配
自旋算符的本征值为 ±ℏ/2，例如：
其本征值为 ±ℏ/2，对应 ms=±1/2，即J的本征值ℏms。
泡利矩阵的平方为单位矩阵：
总自旋平方算符为：
- 自旋的量子化：系数 ℏ/2使得自旋角动量的量子化与实验观测一致。
- SU(2) 对称性：泡利矩阵是 SU(2) 群的生成元，与自旋的半整数特性匹配，而轨道角动量（整数 l）对应 SO(3) 群。
- 相对论性根源：在狄拉克方程中，自旋自然出现，进一步表明 Ji=ℏ/2σi是相对论性量子理论的必然结果。
（3）多角动量系统的耦合
当系统包含多个角动量（如 J1和 J2）时，总角动量 J=J1+J2的本征态需通过Clebsch-Gordan 分解构造。此时：
（4）本征值的具体推导
最高权态的条件
设最高权态为 |j,j⟩，满足：
J²的本征方程
假设本征态与量子数：设存在本征态 |j,m⟩ 满足：
其中 j为总角动量量子数，m为磁量子数。
通过反复应用升降算符，磁量子数 m的取值范围为：
共有 2j+1个值。由于 2j+1必须为整数，j的可能取值为整数或半整数（如 j=0,1/2,1,3/2,…）。
J²本征值的确定
利用 J² 的表达式：
由于 J+|j,j⟩=0，简化为：
量子数j的取值
通过升降算符的作用范围可知，j必须为整数或半整数，且对任意态 |j,m⟩，有：
从而j的可能取值为 0,1/2,1,3/2,…
- 对称性群的作用
角动量算符是旋转对称群 SO(3)（或 SU(2)）的生成元，其不可约表示的维度为 2j+1，对应本征态的多重态结构。
- 本征态的正交归一性
同一j的不同m态正交，不同j的态也正交，这保证了J²的本征值唯一性.
(5)实例验证（以自旋j=1/2为例）
对于自旋 s=1/2 的粒子（如电子），总角动量平方算符为：
直接验证了 j=1/2时的本征值 ℏ²j(j+1).
四、角动量加法
1、加法规则
对于两个角动量量子数 j1和 j2，其总角动量量子数 J的可能取值为：
每次增加1，且 J≥0。具体规则如下：
2、不同情况下的角动量加法表
特殊情况：
五、张量积空间的角动量分解
当两个独立的角动量系统（如两个粒子）组合时，其状态空间为张量积空间，总角动量由个体角动量耦合得到。
1、分解规则
2、维度验证
3、常见组合的分解表
六、角动量算符的乘积规则
角动量算符 Ji的乘积遵循特定代数关系，可通过对易关系和对称性分解。
- 对易关系
角动量分量满足：
2、乘积分解
3、对称乘积的恒等式
4、关键乘积规则表
示例：
总而言之，量子力学中的自旋理论与对称性代数，揭示了内禀角动量的本质！