凸优化和非凸优化：概念、重要性及应用
凸优化和非凸优化：概念、重要性及应用
凸优化和非凸优化是数学优化领域中的两个重要概念。凸优化问题具有良好的性质，如局部最优解就是全局最优解，且有成熟的理论和算法支持。而非凸优化问题则可能有多个局部最优解，求解难度更大。本文将详细介绍凸优化和非凸优化的基本概念、重要性以及它们在实际中的应用。
凸优化和非凸优化的基本概念
数学中最优化问题的一般表述是求取 (x^)，使 (f(x^)) 最小，其中 (x) 是 (n) 维向量，(f) 是 (x) 上的实值函数。
凸优化问题是指可行域 (C) 是闭合的凸集且目标函数 (f) 是 (C) 上的凸函数的最优化问题。这两个条件任一不满足则该问题即为非凸的最优化问题。
凸集
凸集是指对集合中的任意两点 (x_1) 和 (x_2)，有 (\theta x_1 + (1-\theta)x_2 \in C)，其中 (\theta \in [0,1])。直观上就是集合不会像下图那样有“凹下去”的部分。
凸函数
凸函数的定义为：对于任意 (x_1, x_2 \in C) 和 (\theta \in [0,1])，有 (f(\theta x_1 + (1-\theta)x_2) \leq \theta f(x_1) + (1-\theta)f(x_2))。
其几何意义表示为函数任意两点连线上的值大于对应自变量处的函数值，示意图如下：
凸函数的一阶充要条件为：对于任意 (x, y \in C)，有 (f(y) \geq f(x) + \nabla f(x)^T(y-x))。其中要求 (f) 一阶可微。
二阶充要条件为：对于任意 (x \in C)，有 (\nabla^2 f(x) \succeq 0)。其中要求 (f) 二阶可微，表示二阶导数需大于等于 0 才是凸函数。
凸优化的重要性
凸优化之所以重要，主要有以下几个原因：
良好的理论分析特性：凸优化问题具有良好的几何性质，如分离平面和支撑平面，也具有良好的全局分析特性，如 subgradient。
高效的实际可计算性：90年代以来，结构凸优化问题（如 LP、SOCP 特别是 SDP）产生了高效的数值计算方法。SDP 异常强大的建模和表达能力是凸优化火起来的重要原因。
强大的建模能力：科学研究的第一步是对实际问题抽象近似，建模成数学问题，这里有巨大的选择自由度！虽然非凸建模具有最强的表达能力，也最省事，代价却是理论上难以分析和实际中无法可靠计算！
统一的解决手段：凸优化问题有统一的解决手段，如 Lagrange 对偶、椭球法等，而非凸分析几乎都是 case by case，没有统一有效的手段。
凸优化在实际中的应用
凸优化在工程、机器学习、统计、金融等涉及优化、决策的研究领域都有广泛的应用。例如：
机器学习：许多机器学习问题都可以转化为凸优化问题，如支持向量机（SVM）、线性回归、范数逼近、插值拟合、参数估计等。
通信：在通信领域，凸优化可以用于信号处理、资源分配等问题。
金融：在金融领域，凸优化可以用于投资组合优化、风险管理等问题。
工程设计：在工程设计中，凸优化可以用于结构优化、参数优化等问题。
非凸优化问题的处理方法
对于非凸优化问题，通常有以下几种处理方法：
修改目标函数：将目标函数修改为凸函数，从而将问题转化为凸优化问题。
抛弃一些约束条件：使新的可行域为凸集并且包含原可行域。
凸松弛：将非凸问题松弛为凸问题，然后求解凸问题的解作为非凸问题的近似解。
启发式算法：使用启发式算法（如遗传算法、模拟退火等）求解非凸问题。
总结
凸优化是数学优化领域的一个重要分支，具有良好的理论基础和实际应用价值。虽然实际中符合凸优化条件的问题并不多，但凸优化提供了一个思路，可以将许多实际问题转换为凸问题从而解决。凸优化的相关理论和算法在工程、机器学习等领域都有广泛的应用。