微分方程的基本概念

微分方程的基本概念

微分方程是数学中一个重要的分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等多个领域。本文将从基本概念出发，详细介绍微分方程的定义、分类、解的概念以及初等解法等核心内容。

第五章 微分方程简介

第一节 微分方程的基本概念

5.1.1 引例

解

代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需

5.1.2 微分方程的概念

微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。

实质：联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式。

分类1：

• 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程，如上述的(1)(2)(3)(4)都是常微分方程。
• 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，如上述的(5)是偏微分方程。

微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之。如上述方程中(1)(3)(4)是一阶微分方程，(2)是二阶微分方程。

01一阶微分方程
02高阶(n)微分方程
03分类2:
04

微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之。主要问题-----求方程的解

微分方程的解的分类：

• 通解：微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。
• 特解：确定了通解中任意常数以后的解。

定解条件：由通解确定特解需要有与通解中任意常数个数相同的已知条件，常见的为初值条件

初值条件：用来确定任意常数的条件。

01过定点的积分曲线;
02一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。
03初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题。

解

01所求特解为03微分方程的初等解法:初等积分法。
05求积分
02补充:
04求解微分方程
06(通解可用初等函数或积分表示出来)

微分方程；微分方程的阶；微分方程的解；通解;初始条件；特解；初值问题；积分曲线．

本节基本概念：小结

练习题

练习题答案