光的电磁波性质

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@小白创作中心

光的电磁波性质

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来源

https://wuli.wiki/changed/WaOp1.html

光的电磁理论认为，光是一种电磁波。这一理论不仅解释了光的波动性质，还揭示了电磁波与光波之间的本质联系。本文将从麦克斯韦方程组出发，详细阐述光的电磁波性质，并介绍电磁波谱和折射率的概念。

1. 回顾

电磁场的普遍规律可以总结为麦克斯韦方程组，积分形式的麦克斯韦方程组为：

\begin{equation} \begin{aligned} & \displaystyle \iint!!!!!!!!!!\subset!\supset \boldsymbol{\mathbf{D}} \cdot ,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} } = Q ~, \ & \displaystyle \iint!!!!!!!!!!\subset!\supset \boldsymbol{\mathbf{B}} \cdot ,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} } = 0 ~, \ & \oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot ,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = - \iint \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} } ~, \ & \oint \boldsymbol{\mathbf{H}} \cdot ,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = \boldsymbol{\mathbf{I}} + \iint \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{D}} }{\partial t} ,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} } ~. \end{aligned} \end{equation}

方程组中，$ \boldsymbol{\mathbf{D}} $、$ \boldsymbol{\mathbf{E}} $、$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 分别为电位移矢量、电场强度、磁感应强度和磁场强度，对 $ ,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} } $ 和 $ ,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } $ 的积分分别表示对电磁场中任一闭合曲面和闭合回路上的积分。$Q$ 为闭合曲面包含的总电量，$I$ 为闭合回路包围的传导电流。

麦克斯韦方程组的微分形式为：

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{D}} = \rho ~, \ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0 ~, \ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = -\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ~, \ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{D}} }{\partial t} ~. \end{aligned} \end{equation}

$\rho$ 为电荷体密度，$ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 为传导电流密度。

实际上，在方程组中，只有 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 是用于描述场的 “真正” 物理量，而 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 只是两个辅助量，$ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $、$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 有着紧密联系，这一联系而电磁场所在的物质性质有关。

对于各向同性线性物质，我们有：

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\mathbf{D}} = \varepsilon \boldsymbol{\mathbf{E}} ~, \ & \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu \boldsymbol{\mathbf{H}} ~. \end{aligned} \end{equation}

$\varepsilon$ 和 $\mu$ 是两个标量，分别称为介电常数和磁导率。

对于各向异性物质，$\varepsilon$ 和 $\mu$ 不再是标量，而是 $n$ 阶张量：

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\mathbf{D}} = \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} \boldsymbol{\mathbf{E}} ~, \ & \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{\mu}} \boldsymbol{\mathbf{H}} ~. \end{aligned} \end{equation}

另外，我们有欧姆定律：

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{j}} = \sigma \boldsymbol{\mathbf{E}} ~. \end{aligned} \end{equation}

$\sigma$ 被称为电导率。

式（3）和式（5）被称为物质方程。

变化的电磁场可以以一定速度向周围传播出去，即形成电磁波。我们有波动方程：

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial ^ 2 \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t^2} = 0 ~, \ & \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{B}} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial ^ 2 \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t^2} = 0 ~. \end{aligned} \end{equation}

$ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 满足波动方程，即电场和磁场的传播是以波动形式进行的，传播速度为：

\begin{equation} v = \frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}} ~. \end{equation}