反三角函数的导数公式及其性质详解

反三角函数的导数公式及其性质详解

反三角函数的导数公式是高等数学中的重要知识点，对于理解函数的性质和解决相关问题具有重要意义。本文将详细介绍反三角函数的导数公式及其相关性质，帮助读者更好地掌握这一知识点。

反三角函数的导数公式

• 反正弦函数的求导：$(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• 反余弦函数的求导：$(arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• 反正切函数的求导：$(arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}$
• 反余切函数的求导：$(arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2}$

反三角函数的负数关系公式

• $arcsin(-x)=-arcsin(x)$
• $arccos(-x)=\pi-arccos(x)$
• $arctan(-x)=-arctan(x)$
• $arccot(-x)=\pi-arccot(x)$

反三角函数的倒数关系公式

• $arcsin(\frac{1}{x})=arccsc(x)$
• $arccos(\frac{1}{x})=arcsec(x)$
• $arctan(\frac{1}{x})=arccot(x)=\frac{\pi}{2}-arctan(x) \quad (x>0)$
• $arccot(\frac{1}{x})=arccot(x)=\frac{\pi}{2}-arccot(x) \quad (x>0)$
• $arccot(\frac{1}{x})=arctan(x)+\pi=\frac{3\pi}{2}-arccot(x) \quad (x<0)$

确定反三角函数的条件

为了确保反三角函数与自变量之间的单值对应，需要遵循以下条件：

1. 确定的区间必须具有单调性；
2. 函数在这个区间最好是连续的（这里之所以说最好，是因为反正割和反余割函数是尖端的）；
3. 为了使研究方便，常要求所选择的区间包含0到$\frac{\pi}{2}$的角；
4. 所确定的区间上的函数值域应与整函数的定义域相同。这样确定的反三角函数就是单值的，为了与上面多值的反三角函数相区别，在记法上常将arc中的a改记为a，例如单值的反正弦函数记为arcsinx。