方差、标准差、协方差

方差、标准差、协方差

方差、标准差和协方差是统计学中描述数据分布特征的重要概念。本文将从均值开始，逐步介绍方差、标准差的定义和计算方法，重点解释样本方差中分母取n还是n-1的问题。此外，还将详细阐述协方差及其矩阵的定义和性质，以及相关系数的概念和特点。

1. 均值

数据的平均值。

2. 方差

方差（Variance）是各个数据与平均数之差的平方的平均数，用来度量随机变量与其数学期望之间的偏离程度。

样本方差

关于公式中分母取值为n，还是n-1？

• 如果数据是总体数据的部分样本（如学校全体男生中的部分男生身高），则分母为n-1，称为整体数据的无偏估计；
• 如果数据就是所有的数据（如学校全体男生的身高），则分母应该替换为n。

相关证明来源于https://blog.csdn.net/Hearthougan/article/details/77859173。证明过程截图如下：

3. 标准差

标准差等于方差的平方根，描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离的平均值

4. 协方差

协方差用于衡量两个变量偏离其均值的程度。

方差和标准差一般用来描述一维数据，但是我们想要了解两组数据之间是否存在一定的联系，可以仿照方差公式，构造协方差公式如下：

4.1 协方差矩阵

• 协方差矩阵是一个对称的矩阵；
• 对角线上是各个维度的方差。

三维的协方差矩阵

4.2 相关系数

协方差作为描述X和Y相关程度的方法，在同一物理量纲下有一定的作用。但是两个变量采用不同的量纲时，他们的协方差在数值上会表现出很大的差异。为此引出相关系数的公式（如下），其具有如下特点：

• 相关系数是一个衡量线性独立的无量纲数
• 取值范围是[-1,1]

相关系数

参考资料：

https://www.cnblogs.com/ywl925/p/3210822.html
https://blog.csdn.net/Hearthougan/article/details/77859173