经济数学：导数计算详解

经济数学：导数计算详解

3.2 导数计算

3.2.1 求导公式

由前一节的介绍可知，根据导数的定义可以求函数的导数。但是，如果对每一个函数都按导数的定义来求导，其计算将会比较复杂，甚至比较困难。因此，有必要找到一些基本公式与运算法则，借助它们简化初等函数求导计算。

为了运算方便，下面先给出基本初等函数的导数公式，见表3-1所列。这些公式有的在3.1中已经得到，有的将随着导数运算法则的引入而得到，有的可参阅相关教材。

表3-1

例3.9设函数（1）y=x10，（2）y=
，（3）
，（4）y=log3x，（5）y=ln 3，分别求出它们的导数y′。

解由导数公式得

例3.10（1）设y=
，求
；（2）设y=log3x，求（log3x）′|x=3

解（1） 由于
，所以
（2） 由于
，所以

3.2.2 函数的和、差、积、商的求导法则

设函数u=u（x）和v=v（x）在x处可导，则其和、差、积、商在x处也可导。

特别地，（Cu）′=Cu′（C为常数）

特别地，
（v≠0，C为常数）

例3.11求函数f（x）=x3+sinx的导数。

解f′（x）=（x3）′+（sinx）′=3x3-1+cosx=3x2+cosx。

例3.12求函数f（x）=excosx的导数。

解f′（x）=（ex）′cosx+ex（cosx）′=excosx-exsinx。

例3.13求函数
的导数。

例3.14求函数f（x）=tanx的导数。

例3.15求函数f（x）=secx的导数。

例3.16求曲线y=xlnx的平行于直线2x-y+3=0的切线方程。

解本题切线的斜率间接给出，只要求出切点即可。

设所求切线的切点为（x0，y0），因曲线为y=xlnx，所以
又因直线 2x-y+3=0的斜率为2，且其与所求切线平行，因此可知所求切线的斜率也为2，故

3.2.3 高阶导数

函数y=f（x）的导数f′（x）一般也是x的函数，对f′（x）的再求导数，称为f（x）的二阶导数，记作f′′（x），y′′；或

。

类似地，我们还可以继续求导，得到三阶导数y′′′，四阶导数y（4），乃至n阶导数y（n）。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数，而f′（x）称为y=f（x）的一阶导数。

由此可知，求高阶导数只要反复应用求一阶导数的方法即可，下面举例说明。

例3.17已知y=x3+lnx，求y′，y′′及y′′′。

例3.18求y=xarctanx的二阶导数y′′

例3.19设
。

习题3.2

1.求下列函数的导数

2.求下列函数的导数

3.设
，求f′（4）。

4.设
，求f′（e）。

5.求f（x）=x3+2x2在x=1处的切线及法线方程。

6.曲线y=
上哪一点的切线垂直于直线3x+y+1=0？

7.已知物体的运动规律为s=2t2+t（m），求这物体在t=2（s）时的速度。

8.求下列函数的二阶导数
(1)y=x3+3x2+2;(2)y=x·sinx+cosx;(3)y=x2+2x+ln 2;(4)y=xex.