线性代数：二次型的概念及其标准形
线性代数：二次型的概念及其标准形
二次型是线性代数中的一个重要概念，它不仅在线性代数中有着广泛的应用，还在数学、物理学和工程学等领域中发挥着重要作用。本文将详细介绍二次型的概念、矩阵表示、合同关系以及如何通过正交变换将二次型化为标准形。
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一、二次型及其矩阵表示
引例方程表示怎样的曲线? 是不是标准的椭圆，或者抛物线，或者抛物线呢?
【解】：从方程可以看到，该方程表示的是一条中心与坐标原点重合的曲线，并且曲线关于原点对称，但是并不能从该方程上直接看出它表示图形是不是日常见到的椭圆，双曲线，或者抛物线，或者是其他怎样的曲线. 为此，考虑对左侧的关于变量的二次多项式作线性变换
它也是逆时钟旋转的旋转变换，代入上面的二次多项式，可得
从方程可以看到它是一个椭圆。
【思考】：那么原方程表示的是不是形状一样的椭圆呢？
由于旋转变换是一个正交变换，表示的是将坐标轴逆时针旋转角的变换。因此变换后的方程与原方程表示的同一条曲线，即都是中心在原点的椭圆。它们表示的图形如下图所示.
红色的时原方程曲线，蓝色的是旋转后的曲线. 上述变换过程，从代数的观点来看，就是通过一个可逆线性变换将一个二次齐次多项式（只含二次项）化为只含平方项的多项式的过程. 这样的问题，在许多理论或实际应用中经常会遇到. 将它推广就是对二次齐次多项式作适当的非退化（可逆）线性变换
将其化为只含平方项，不含交叉项的多项式. 这一过程也就是咱们这讲讨论的内容，对于这里出现的二次多项式还有一个专门的名称.
定义 1称如下关于变量的元二次齐次多项式
为元二次型，简称二次型. 当为复数时，称为复二次型；当为实数时，称为实二次型；我们这里只讨论实二次型 .
如果二次型只含有平方项，即
则二次型称为标准二次型（简称标准形）; 如果二次型形如
则称为规范二次型(简称规范形).
如果取，则
于是. 从而可以将它写成矩阵描述形式，即
令，则满足，即为实对称矩阵，则有二次型的矩阵表达式为
定义 2 二次型的系数构成的矩阵是由二次型唯一确定的一个对称矩阵，称为二次型的矩阵. 二次型的秩定义为其对应矩阵的秩.
反过来，给定一个对称矩阵，则也唯一确定了一个二次型. 这表明，二次型与对称矩阵间是一一对应的. 特别地，元实二次型与阶实对称矩阵之间是——对应的.
例1写出下列二次型的矩阵，并求它们的秩.
(1).
(2).
(3).
【解】:(1). 由于，故，即二次项的秩为 3.
(2) . 易知，即二次项的秩为 2 。
(3)注意矩阵不是对称矩阵，因而它不是该二次型的矩阵. 计算可得
故二次型矩阵为
由于，故，即二次项的秩为 3 。
【注】：二次型矩阵也就等于
关于主对角线对称位置元素和的一半，也即
二、矩阵合同
在引例中看到，通过可逆线性变换我们将一般的二次型转换为了标准形，从而可以直观的研究它的几何特征. 在对二次型的研究中，如何利用可逆线性变换将一般的二次型变换为标准二次型是二次型研究的中心问题。
设为一个元二次型，为可逆线性变换，其中
将代入该二次型中，得
令，则即为变换后所得新二次型的矩阵。
定义 2 设为阶矩阵，如果有阶可逆矩阵，使得，则称与合同，记作。
【注】：经过可逆线性变换，
新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。由于二次型矩阵为对称矩阵，则也为对称矩阵. 事实上，
即为对称矩阵. 又由于可逆，故可逆，由可知. 即可逆变换不改变二次型的秩。
合同是矩阵之间的一种关系，满足:
(1)自反性：；
(2)对称性：若，则；
(3)传递性: 若，则.
例 2设二次型
试求可逆矩阵，使得的二次型矩阵与的二次型矩阵合同，即.
【解】：两二次型的矩阵分别为
从引例中知道，令
即作变换
即将变换为. 故取
时，有
【注】：经过以上合同变换将一般的二次型转换为了标准二次型的过程，可以通过凑项、配方原二次型来得到，即
于是令，可以将原二次型转换为标准二次型
这样，通过两个不同的变换将同一个二次型转换为两个不同形式的标准形. 这个变换可以改写为
用矩阵可以描述为
同样有
比较一下容易发现，它们两个标准二次型之间相差一个比例系数 4. 也就是图形形状不变，但是放缩了 4 倍. 像这样通过配方二次型表达式换元来得到二次型的标准形的方法称为配方法，本讲对这种方法不进行讨论，将在后一讲中专门进行探讨。
三、二次型的标准化与正交变换法
标准形是一般二次型中最简单的描述形式，也是空间解析几何中研究空间二次曲面图形中曲面方程的标准结构，对应的图形一般还有确定的名称，比如球面、椭球面、双曲面、抛物面、圆锥面等等.
那么，对于一般二次型，是否可以经过可逆变换变成标准形呢？也就是是否存在可逆矩阵，使得成为对角矩阵呢？由于二次型矩阵为实对称矩阵，所以总存在正交矩阵，使得
也即任何一个二次型都可以通过可逆变换化为标准形。
定理1对于任意二次型
总有正交变换，将化为标准形
其中是的矩阵的特征值.
【注】：(1)任意一个实二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形.
(2)对任何一个阶实对称矩阵，—定存在可逆矩阵，使得为对角矩阵。
(3)实二次型经正交变换变为标准形，则二次型的矩阵与既合同且相似。若不考虑变量顺序，实二次型在正交变换下的标准形是唯一的，各平方项的系数恰为的全部特征值，的非零特征值的个数恰为的秩.
(4)由于正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的长度与夹角，于是保持几何图形的形状、大小不变，这是正交变换的特殊性质。
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤:
(1) 写出二次型矩阵；
(2) 求出的所有特征值；
(3) 求出对应特征值的特征向量；
(4) 将特征向量正交化、单位化，得, 记
(5) 作正交变换，则得的标准形为
例 3求利用正交变换将下列二次型化为标准形的正交变换矩阵及相应的标准形.
(1).
(2).
【解】：(1)二次型对应的矩阵为，解它的特征方程
得特征根为。
对，对的系数矩阵实施行初等变换，有
所以特征向量为，单位化得.
对，对的系数矩阵实施行初等变换，有
所以特征向量为，单位化得. 取
即取正交变换
可将二次型转换为标准形.
(2)二次型的矩阵为
解它的特征方程
于是的特征值为.
当时，对的系数矩阵实施行初等变换，有
得基础解系，单位化得.
当时，对的系数矩阵实施行初等变换得同解方程组
得基础解系
首先将其正交单位化，由正交化公式
取
则，且
再将单位化，得
于是取正交变换矩阵为
可得正交变换为
且有.
【注】：(1)由于特征向量取法不唯一，故正交变换不唯一. 比如本题对于三重特征根 1，当取其特征向量为
时，单向量直接为正交向量，故可以直接单位化得正交向量组
于是正交变换可以取为
（2）如果仅仅需要求正交变换下的标准形，而不需要求正交变换，或正交变换矩阵，则只需要求二次型矩阵的特征值即可，由特征值可以直接写出它的标准形。
（3）不管正交变换如何，变换后的标准形是惟一的. 但是，如果不是正交变换，可能就会得到不同的二次型，比如例 2 中适用配方法构建可逆矩阵来得到的二次型的标准形不一样. 对于这样的化简二次型的方法和其他常用的方法，咱们将在后面一讲中借助典型例题继续进行详细探讨。
例 4 设二次型，记
(1) 证明二次型对应的矩阵为;
(2) 若正交且均为单位向量，证明在正交变换下的标准形为.
【解】：（1）记，则
代入二次型表达式，得
注意到
故所求二次型矩阵为
(2) 因为正交且均为单位向量，所以
因为是实对称矩阵，且
所以，至多有两个非零特征值. 因为
所以的特征值为. 所以二次型在正交变换下的标准形为.
例 5设二次型经正交变换
化为二次型
其中.
(1) 求的值;
(2) 求正交矩阵.
【解】：(1)设，其中
经正交变换则
其中. 可知
即相似于，则，即，解得
(2)设，则
因此。由
解得，于是
得. 又
得，即。 计算可得
所以
例6已知二次型.
(1) 求正交变换将化为标准形；
(2) 证明:。
【解】：(1)二次型的矩阵为
解矩阵的特征多项式方程
得。
当时，解方程组. 由于
所以同解方程组为，得基础解系为
单位化得.
当时，解方程组. 由于
所以同解方程组为，得基础解系为
已经正交，将它们单位化得
取
则有正交变换把二次型化为标准形
(2)作正交变换，由于为正交矩阵，所以
所以要证明的最小值为 2，就是证明的最小值为 2 . 由 (1) 可知，在正交变换下，
即. 显然当时等号成立，故，即所证结论成立.
四、矩阵等价、相似和合同关系的比较
矩阵的等价、相似和合同关系是线性代数中关于矩阵的三种非常重要的关系，它们的关系通过表格对比如下：
矩阵等价、相似和合同关系的比较
练习题
1、选择题.
(1)设阶方阵与相似，与合同，与等价，则下列结论正确的是（）。
(A)与相似(B)与合同
(C)与等价(D)与相似
(2)将三阶方阵的第一行加到第三行得到，再将的第一列加到第三列得到，记，则（）。
(A)(B)
(C)(D)
(3)已知，则与.
(A) 既相似又合同(B) 相似但不合同
(C) 合同但不相似(D) 既不相似又不合同
(4)设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为 ()
(A)(B)
(C)(D)
2、设二次型
写出对应的实对称矩阵.
3、求下列二次型的矩阵.
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
4、证明二次型的矩阵为，其中.
5、已知二次型的秩为，求的值.
6、用正交变换法化下列二次型为标准形，并写出正交变换.
(1).
(2).
7、已知二次型在正交变换下的标准形为，求该正交变换。
8、设二次型，其中的特征值之和为，特征值之积为.
(1) 求的值.
(2) 求正交变换将二次型化为标准形.
9、已知二次型的秩为，求在条件下的最大值.