深入解析最小生成树算法：Kruskal与Prim算法的比较与应用

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作者:

@小白创作中心

深入解析最小生成树算法：Kruskal与Prim算法的比较与应用

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/weixin_43199439/article/details/144327796

最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是图论中的一个经典问题，目标是找到一个连通图的一个子图，使得这个子图包含图中所有的顶点，且边的权重之和最小，并且保证没有环。本文将深入解析两种常用的最小生成树算法：Kruskal算法和Prim算法，包括它们的原理、实现细节、时间复杂度分析以及应用场景的比较。

1. 最小生成树的定义

给定一个加权无向图 G = (V, E)，其中 V 是顶点集合，E 是边集合，每条边都有一个权重。最小生成树是一个包含图中所有顶点的连通子图，它包含的边的权重之和最小。

最小生成树具有以下特点：

包含图中的所有顶点。
没有环（即是一个树）。
连接所有顶点，且边的权重之和最小。

2. 最小生成树算法

最小生成树有几个经典算法，最常用的包括Kruskal算法和Prim算法，它们都能够在多项式时间内求解最小生成树问题。

2.1 Kruskal算法

Kruskal算法是一种贪心算法，基本思路是：从边的权重最小的边开始，逐步加入到生成树中，直到包含所有顶点。在每一步选择边时，它会确保所选的边不会形成环。

步骤：

将图中的所有边按权重从小到大排序。
从最小的边开始，逐一检查该边是否会形成环。如果不会形成环，就将这条边加入生成树。
重复步骤2，直到生成树中包含了所有的顶点。

算法细节：

并查集（Union-Find）：用于判断两点是否在同一个连通分量中。每当选择一条边时，要检查它的两个端点是否已经连通，如果连通，加入该边会形成环；否则，可以安全地加入。

伪代码：

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))  # 初始每个点的父节点是自己
        self.rank = [0] * n  # 记录每个树的深度

    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])  # 路径压缩
        return self.parent[x]

    def union(self, x, y):
        rootX = self.find(x)
        rootY = self.find(y)
        
        if rootX != rootY:
            # 按秩合并，保持树的平衡
            if self.rank[rootX] > self.rank[rootY]:
                self.parent[rootY] = rootX
            elif self.rank[rootX] < self.rank[rootY]:
                self.parent[rootX] = rootY
            else:
                self.parent[rootY] = rootX
                self.rank[rootX] += 1

def kruskal(n, edges):
    uf = UnionFind(n)
    mst = []
    edges.sort(key=lambda x: x[2])  # 按照边的权重排序
    for u, v, weight in edges:
        if uf.find(u) != uf.find(v):  # 如果没有形成环
            uf.union(u, v)
            mst.append((u, v, weight))
    return mst

时间复杂度：

排序边的时间复杂度是 O(E log E)，
并查集的操作时间复杂度是 O(α(V))，其中 α 是阿克曼函数的反函数，近似为常数。
因此，总的时间复杂度是 O(E log E)，适用于边较多的稀疏图。

2.2 Prim算法

Prim算法是另一种贪心算法，基本思路是：从一个顶点开始，逐步扩展最小的边，直到包含所有的顶点。与Kruskal算法不同，Prim算法是从顶点出发，逐渐扩展到整个图，而Kruskal则是从边出发。

步骤：

从任意一个顶点开始，将该顶点加入生成树。
选择与生成树中的顶点相连的最小权重的边，并将该边的另一个端点加入生成树。
重复步骤2，直到生成树包含所有的顶点。

算法细节：

优先队列（堆）：用于选择当前最小的边，效率较高。

伪代码：

import heapq

def prim(n, graph):
    mst = []
    visited = [False] * n
    min_heap = [(0, 0)]  # (权重, 顶点)，从任意顶点0开始

    while min_heap:
        weight, u = heapq.heappop(min_heap)
        
        if visited[u]:
            continue
        
        visited[u] = True
        if weight > 0:
            mst.append((prev, u, weight))  # 记录生成树中的边
        
        for v, w in graph[u]:
            if not visited[v]:
                heapq.heappush(min_heap, (w, v))
                prev = u
    return mst

时间复杂度：