理论力学之欧拉-拉格朗日方程

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@小白创作中心

理论力学之欧拉-拉格朗日方程

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https://forum.eduzhixin.com/discuss-detail/51216?subjectType=2

欧拉-拉格朗日方程是变分法中的核心方程，用于求解泛函的极值函数。它在物理学（如经典力学、场论）和工程学中具有广泛应用，尤其是从最小作用量原理推导系统的运动方程。

一、问题背景：变分法与泛函极值

泛函（Functional）是函数的函数，即输入为函数，输出为实数。例如，力学中的作用量S[q(t)]是路径 $ q(t) $ 的泛函。

目标：找到使泛函 $ J[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) , dt $ 取极值的函数 $q(t)$，其中 $ L$ 为被积函数（拉格朗日量），$\dot{q} = dq/dt $。

二、欧拉-拉格朗日方程的推导

假设函数 $ q(t) $使泛函 $ J[q] $取得极值，考虑对其施加微小扰动 $ \delta q(t) $，并要求变分 $ \delta J = 0 $。

变分的计算

引入扰动 $ q(t) \to q(t) + \epsilon \eta(t) $，其中 $ \eta(t) $ 是满足 $ \eta(t_1) = \eta(t_2) = 0 $的任意函数，$ \epsilon $为小参数。泛函的变分为：
$$
\delta J = \frac{d}{d\epsilon} J[q + \epsilon \eta] |{\epsilon=0} = \int{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} \right) dt.
$$

分部积分

对含 $ \dot{\eta} $的项分部积分，利用边界条件 $ \eta(t_1) = \eta(t_2) = 0 $：
$$
\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{\eta} , dt = \left. \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \eta \right|{t_1}^{t_2} - \int{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \eta , dt.
$$
边界项消失后，变分简化为：
$$
\delta J = \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \right] \eta(t) , dt.
$$

变分法基本引理

由于 $ \eta(t) $是任意的，极值条件 $\delta J = 0 $ 要求被积函数恒为零：
$$
\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = 0.
$$
此即欧拉-拉格朗日方程。

三、方程的推广形式

多自由度系统

若系统有 $n$个广义坐标 $q_i(t)$，每个坐标对应一个方程：
$$
\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) = 0 \quad (i=1,2,\dots,n).
$$

含高阶导数

若 $L$ 依赖 $q, \dot{q}, \ddot{q}, \dots$，方程为：
$$
\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) + \frac{d^2}{dt^2} \left( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \right) - \dots = 0.
$$

显含时间变量

若 $L$ 显含时间 $t$，方程形式不变，但计算导数时需考虑 $t$ 的显式依赖。

四、物理意义：最小作用量原理

在经典力学中，系统的真实运动路径使作用量 $S = \int L , dt$取极值。此时：

拉格朗日量$L = T - V$，其中 $T$为动能，$V$ 为势能。
欧拉-拉格朗日方程直接给出牛顿第二定律的广义坐标形式。

示例：自由粒子

拉格朗日量 $L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2$，代入方程：
$$
\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) = 0 - \frac{d}{dt}(m\dot{x}) = 0 \implies \ddot{x} = 0,
$$
对应匀速直线运动。