几何体体积求法

几何体体积求法

几何体体积的求法是几何学中的一个重要内容，常见的求法包括直接法、等体积转化法、割补法等。下面将通过几个例题详细讲解这些方法的具体应用。

一、直接法

直接法是最基本的求体积方法，适用于规则几何体的体积计算。

二、等体积转化法

等体积转化法是从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积。

三、割补法

割补法是立体几何中求角、距离和体积的常用方法。它包括把规则的几何体割补成易求体积的几何体，也包括把不规则的几何体割补成规则的几何体，以便求体积。

例1

由三余弦定理可得：

解法一：易知AO是PA的射影，且AO是∠BAC的平分线。故

解法二（换底法）：

解法三（割体法）：取AB、AC的中点M、N，连接PM、PN、MN，则P-AMN是一个棱长为1的正四面体。明显地，

解法四（补体法）：延长AP至点Q，连接BQ、CQ，

练习1

正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，将它沿EC、ED折起，使A、B重合为点P，求三棱锥P-ECD的体积。

例2

已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,求三棱锥B1—AD1C的体积。

变式

四面体S-ABC的三组对棱分别相等，且依次为，求该四体的体积。

分析：由三条对棱相等，易联想到长方体的三组相对的面上的对角线相等，因此可将四面体补成一个长方体来解。

例3

如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF垂直AE，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，求该多面体的体积()。

法一：分别取AB、CD的中点G、H连EG，GH，EH，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积，整个多面体的体积为．故选D．

法三.由已知条件可知，EF∥平面ABCD，则F到平面ABCD的距离为2，将几何体变形如图，使得EG=AB，三棱锥F-BCG的体积为：

原几何体的体积为：

例4

三棱锥P--ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=a，ED⊥PA，ED⊥BC,ED=h,求三棱锥的体积。

求体积的常用方法所给的是非规范(或条件比较分散的规范的)几何体时,通过对图象的割补或体积变换,化为与已知条件直接联系的规范几何体,并作体积的加、减法。

小结

当按所给图象的方位不便计算时,可选择条件较集中的面作底面,