数值积分|泰勒(Taylor)公式求积分

数值积分|泰勒(Taylor)公式求积分

泰勒公式是数学和工程领域中的一个重要工具，它允许我们用函数在某点的值及各阶导数值组成的无穷级数来近似表示函数在该点邻域内的值。本文将详细介绍泰勒公式的定义、性质及其在数值积分中的应用，并通过具体算例说明其使用方法。

泰勒(Taylor)公式大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。ƒ(x)在x=a处的泰勒展开式为：

注意，等号右边是无穷多项。特别地，当a=0时，又叫麦克劳林(Maclaurin)展开式。

泰勒公式的图像展示

让我们来看几个具体的例子：

• ƒ(x)=e^x在x=0处分别展开几项：

• ƒ(x)=cosx在x=0处展开多项式的函数图像与ƒ(x)=cosx对比：

可以看到，展开多项式项数越多，得到的图像和原函数越接近。实际应用中不可能无穷多项展开，故将其写成有限项Pn(x)和余项Rn(x)之和：

即ƒ(x)=Pn(x)+Rn(x)。例如：

c介于0和x之间。对于一个正常数M，有：

例如M=1时：

算例

1.求积分

要求误差小于0.001

展开得

x=1代入

如果要求误差小于10^-6, 则保留前五项

泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。