从点积理解傅里叶变换：一个直观的数学推导

从点积理解傅里叶变换：一个直观的数学推导

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/qq_51605551/article/details/139551851

傅里叶变换是数学和工程领域中一个极其重要的工具，它允许我们将信号或函数从时间域转换到频域，从而揭示信号的频率组成。本文将从一个全新的角度——向量点积，来理解傅里叶变换的原理，帮助读者建立直观的认识。

向量点积

先简单介绍一下向量的点积。假如我们现在有一个向量a长度为6，又有一个向量b长度为8，它们的夹角为60°，那么它们的点积就是用它们的模长乘以夹角的余弦值，得到24。

那么这样定义有什么用呢？它得出来的数值说明了什么呢？我们观察到，当夹角减小时，向量b在a方向上的投影变长，点积的结果也相应增大。这表明点积可以衡量两个向量的相似度：点积数值越大，相似度越高。

从观察者的角度来看，如果把向量具象化为一个观察者，那么观察者只能感知到与自己维度方向一致的部分。因此，向量b在向量a的眼里，其长度就是b在a方向上的投影长度，即b的模长乘以它们夹角的余弦值。

观察者角度看向量分解

我们找来两个相互垂直的观察者i和j，它们的长度都是1。通过i和m的点积可以得到i眼里的向量m的长度，同理，通过j和m的点积可以得到j眼里的向量m的长度。如果得到的数值分别是4和3，那么向量m就可以表示为4i加3j。

可以看出，向量m对观察者向量i的影响更大，它们也更相似。这里引入的观察者i和j都是单位向量，这其实就是归一化操作。归一化可以保证各个观察者在能量上是一致的，方便后续数据的处理。

连续函数的点积

我们放到直角坐标系当中去看。在直角坐标系下，两个向量X[x1,x2,x3,x4]和Y[y1,y2,y3,y4]的点积是对应的分量相乘再相加。现在我们来思考这样一种情况：假如我们有两个向量Xn[x1,x2,x3,x4,…xn] 和Yn[y1,y2,y3,…yn]，我们把Xn的每一个分量均匀放在时间轴t上，假设范围是(t1,t2)，那么这就可以看作是一个t1到t2的离散函数。

当n 越来越大趋于无穷的时候，那么均匀分布在t轴上的数就会越来越多，直到连续。那么这就是一个连续函数X（t）,t∈[t1,t2]，Yn同理。这样我们就可以看出来，一个连续的函数等价于无穷维的向量。

结合向量的点积，这些就是对应点的函数值相乘，当它们是连续函数的时候，直接用两个函数相乘就行了，就是X（t）乘以Y(t)。那么相加的动作，在连续函数当中就是求积分，如果定义域是t1,t2的闭区间，那么式子就是：

从图像上来看，这个式子的数值是大于0的，也就是说，它们之间是存在一些相似度的。那么上面的呢就是连续函数点乘的定义了。

从点积推导傅里叶变换

让我们把目光放在傅里叶级数上。傅里叶级数是由一系列简单的正余弦函数作为基，例如2pi周期的函数的基就是cost,cos2t,cos3t等等，这些基是通过不同频率来进行区分的，它们可以看到目标函数在自己频率世界中的投影，也就是影响是多少。

如果高频的观察者和目标函数相似度更高，那么就说明原函数的高频成分就更多。例如，我们有一个目标函数f(t),我们想看cosnt和目标函数相似度有多少，即成分的高低，那么我们直接让二者点乘即可，即从[-pi,pi]。

如果你还想进一步看一下f(t)在cosnt上具体的投影是多少呢，那就离不开归一化操作了，刚才已经讲过了要么观察者是归一的要么系数是归一的。连续函数不就是连续无穷维向量吗？所以连续函数的模长就是，cosnt的模长就是：

，其实连续函数的模长有一个专有名词叫做2-范数。很明显cosnt这个观察者没有归一，所以投影系数呢就得归一，我们看之前总结的公式。代入后就是：

这个式子是不是非常眼熟？它就是傅里叶级数求An的公式，对应到不同频率基的振幅。这样我们就可以求出原函数在不同频率下的投影是多少了。

接下来更进一步进入到傅里叶级数的复变换形式。上周我们都了解了欧拉公式，那么我们就可以把代入进去了。不过要注意一件事情，两个复函数的点乘是取后者的共轭函数进行计算的。取代了之前的cosnt成为了新的观察者，那么让它来对f(t)进行点乘来看相似度有多少，的共轭复数是，进行点乘之后有：

，而且我们可以看到，观察者已经归一了，因为它表示的都是半径为1的旋转，那么现在我们再看看这个公式，这其实就是连续函数的傅里叶变换的公式。我们积分出来的结果一般都是一个关于角频率w的复函数，那么这个复函数的模就可以理解为我们前面所说过的投影数。

以上就是从点积或者说点乘角度来理解傅里叶变换，希望能帮助到大家对傅里叶变换有更深层次的认识。

总结

1. 点积就是计算A与B之间的相似程度。
2. 一个n维向量存在n个基，第i个基与其进行点积，可以得到该向量在第i个基上的相似度。
3. 无穷维的向量可以看作是一个连续的函数，此时点积可看作积分。
4. 引入欧拉公式，将目标函数与不同基点乘，从而得到不同频率的成分大小，这就是连续傅里叶变换。

应用

1. 图像压缩与增强：傅里叶变换可以将图像转换到频域，从而分离出代表图像细节的高频分量和表示图像结构的低频分量。这一特性被用于图像压缩，通过去除或减少高频噪声来减小图像大小，同时保持视觉质量。在图像增强方面，可以通过调整频域系数来改善图像的清晰度或进行去模糊处理。
2. 音频信号处理：在语音识别、音乐分类和音频降噪等任务中，傅里叶变换用于分析音频信号的频率组成，帮助识别特定的声音特征，从而提高处理的准确性和效率。
3. 时序数据分析：在处理时间序列数据（如股票价格、传感器读数）时，傅里叶变换能够揭示数据中的周期性成分，帮助预测未来趋势、异常检测和模式识别。
4. 降维和特征工程：在高维数据集中，傅里叶变换可以揭示数据的频率特性，通过选择或构造基于频率的特征，降低数据维度，提高机器学习模型的训练效率和泛化能力。