高中数学中的射影定理
高中数学中的射影定理
射影定理是高中数学中的一个重要定理，广泛应用于平面几何和三角函数的计算中。本文将详细介绍射影定理的两种形式及其证明方法，并通过具体例题展示其在解题中的应用。
射影定理1
直角三角形射影定理，又叫欧几里德(Euclid)定理，其内容：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
符号语言：如图，$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90°$，$AD$是斜边$BC$上的高，则有射影定理如下：
- $AD^2=BD\cdot DC$
- $AB^2=BD\cdot BC$
- $AC^2=CD\cdot BC$
证明：这主要是由相似三角形来推出的，
例如，证明$AD^2=BD\cdot DC$，
在$\triangle BAD$与$\triangle ACD$中，$\angle B=\angle DAC$，$\angle BDA=\angle ADC=90°$，
故$\triangle BAD\sim\triangle ACD$，所以$\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，
所以得到，$AD^2=BD\cdot DC$。其余仿此证明；
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
比如由公式2+3得到，
$AB^2+AC^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=BC^2$，
即$AB^2+AC^2=BC^2$，这就是勾股定理的结论。
射影定理2
任意三角形射影定理注释：以“$a=b\cdot\cos C+c\cdot\cos B$”为例，$b$、$c$在$a$上的射影分别为$b\cdot\cos C$、$c\cdot\cos B$，故名射影定理。又称“第一余弦定理”，其内容为：三角形的任意一边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。
符号语言：设$\triangle ABC$的三边是$a$、$b$、$c$，它们所对的角分别是$A$、$B$、$C$，则有：
- $a=b\cdot\cos C+c\cdot\cos B$
- $b=c\cdot\cos A+a\cdot\cos C$
- $c=a\cdot\cos B+b\cdot\cos A$
[证法1]：设点$C$在直线$AB$上的射影为点$D$，
则$AC$、$BC$在直线$AB$上的射影分别为$AD$、$BD$，
且$AD=b\cdot\cos A$，$BD=a\cdot\cos B$，
故$c=AD+BD=b\cdot\cos a+a\cdot\cos B$。同理可证其余。
[证法2]：由正弦定理，可得：$b=\frac{a\sin B}{\sin A}$，$c=\frac{a\sin C}{\sin A}$
即$c=\frac{a\sin(A+B)}{\sin A}=\frac{a(\sin A\cos B+\cos A\sin B)}{\sin A}$
$=a\cos B+(\frac{a\sin B}{\sin A})\cos A=a\cdot\cos B+b\cdot\cos A$。同理可证其余。
[证法3]：以向量三角形为案例，
给$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$，两边同乘以向量$\overrightarrow{CB}$，
得到$\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{CB}$，
即$\overrightarrow{CB}^2=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}$
即$\overrightarrow{CB}^2=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot\cos<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}>-|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot\cos<\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}>$
即$\overrightarrow{CB}^2=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot\cos B-|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot\cos(\pi-C)$
即$a^2=c\cdot a\cdot\cos B+b\cdot a\cdot\cos C$，两边约去$a$，
得到$a=c\cdot\cos B+b\cdot\cos C$，即得到射影定理，也称第一余弦定理。
使用场景
引例，如解三角形题目中出现这样的条件：$\frac{\sin^2A+\sin^2B-\sin^2C}{c}=\frac{\sin A\sin B}{a\cos B+b\cos A}$，
分析：则我们由射影定理2，将$a\cdot\cos B+b\cdot\cos A=c$，代入上式，
即$\frac{\sin^2A+\sin^2B-\sin^2C}{c}=\frac{\sin A\sin B}{c}$，
则得到$a^2+b^2-c^2=ab$，即已知条件等于告诉我们：$a^2+b^2-c^2=ab$，那么接下来的思路自然就通畅无阻了.
典例剖析
1、在$\triangle ABC$中， 内角$A$，$B$，$C$的对边分别是$a$，$b$，$c$若$a\cos B-b\cos A=\frac{c}{2}$，则表达式$\frac{a\cos A+b\cos B}{a\cos B}$的最小值为____________.
解析: 在$\triangle ABC$中,$c=a \cos B+b \cos A$，[射影定理]
联立$\left{\begin{array}{l}c=a\cos B+b\cos A \ a\cos B-b\cos A=\frac{c}{2}\end{array}\right.$，解得$\cos A=\frac{c}{4b}$，$\cos B=\frac{3c}{4a}$，
所以$\frac{a\cos A+b\cos B}{a\cos B}=\frac{a\cdot\frac{c}{4b}+b\cdot\frac{3c}{4a}}{a\cdot\frac{3c}{4a}}$
$=\frac{1}{3}(\frac{a}{b}+\frac{3 b}{a})\geq\frac{1}{3}\times 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{3b}{a}}$
$=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
当且仅当$\frac{a}{b}=\frac{3 b}{a}$时，等号成立.
故$\frac{a\cos A+b\cos B}{a\cos B}$的最小值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
2、【2022高三月考试题】两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上， 若球的体积为$\frac{32\pi}{3}$，两个圆锥的高之比为1 : 3，则这两个圆锥的体积之和为【\qquad】
$A.3\pi$ $B.4\pi$ $C.9\pi$ $D.12\pi$
【解答】解: 如图, 设球$O$的半径为$R$， 由题意，$\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{32 \pi}{3}$，
可得$R=2$， 则球$O$的直径为4， 两个圆锥的高之比为1 : 3，$AO_{1}=1$，$BO_{1}=3$，
由直角三角形中的射影定理可得:$r^2=1\times 3$， 即$r=\sqrt{3}$.
所以这两个圆锥的体积之和为$V=\frac{1}{3} \pi \times(\sqrt{3})^{2} \times(1+3)=4 \pi$， 故选:B.
3、【2022高三数学三轮模拟冲刺题】已知$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$\frac{a^2+b^2-c^2}{c}=\frac{ab}{a\cdot\cos B+b\cdot\cos A}$，则$C$=__________.
解析：由射影定理可知，$a\cdot\cos B+b\cdot\cos A=c$，即已知条件变形为$\frac{a^2+b^2-c^2}{c}=\frac{ab}{c}$，则$a^2+b^2-c^2=ab$，
从而可知，$\cos C=\frac{1}{2}$，又$c\in (0,\pi)$，故$C=\frac{\pi}{3}$.