克莱姆法则及其推论
克莱姆法则及其推论
克莱姆法则（由线性方程组的系数确定方程组解的表达式）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组。如果将行列式系数理解为矩阵，那么仅对方阵有效。
一、相关概念储备
1.齐次和非其次线性方程组
首先是线性方程组的概念，线性方程组的本质是一组向量对另一个向量的线性表示。如果把这一组向量视为一个基，那么求解一个线性方程组，就是找出被表示向量在一组基上的坐标。即形如Ax=b的表示，就是线性方程组。
继而是齐次的概念，齐次线性方程组的常数项全部为零，非齐次方程组的常数项不全为零。形如Ax=0，就是齐次的；而Ax=b 且b≠0，就是非齐次的。
如果用多项式来理解，则可以看下面的行列式：
其中A为系数矩阵，X为未知数组成的向量，β为常数向量。如果β为0，则是其次线性的，如果β不为0，则为非其次线性的。
二、克莱姆法则定义及其推论
1.法则内容
n元非齐次线性方程组中：
系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即：
若线性方程组的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组有唯一解，其解为：
Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。如：
2.法则使用前提
（1）系数行列式D不能等于0：如果
=0，即方阵不满秩，则有多个解；则行列式系数参数矩阵可以理解为不是方阵，有多个解。
（2）线性方程组： X的最高次幂为1，即多元一次
3.法则产生的推论
推论1：n元齐次线性方程组有唯一零解的充要条件是系数行列式不等于零，系数矩阵可逆。（矩阵可逆=矩阵非奇异=矩阵对应的行列式不为0=满秩=行列向量线性无关）。
如果系数行列式不等于0，则 系数矩阵可逆，又因为是其次方程，所以常数向量β为0，那么D1...Dn行列式均为0，因此方程有唯一0解。
推论2：n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。
实际推论2可以从上面推论1得来。