雅可比矩阵与线性变换

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@小白创作中心

雅可比矩阵与线性变换

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/mrbaolong/article/details/146065934

雅可比矩阵

雅可比矩阵是一种组织偏导数的方式，帮助理解非线性函数的局部线性变化。通过计算给定函数的所有偏导数并组成矩阵，可以得到雅可比矩阵。通过计算函数在某一点处的雅可比矩阵，可以预测函数在特定点附近的变化。雅可比矩阵作为线性化工具，对理解复杂非线性函数的局部行为具有重要意义。

雅可比矩阵的计算

矩阵形式表示的多元函数的导数，每一列对函数的一个自变量求偏导。例如对一个由$f_1$和$f_2$组成的矩阵求导：

根据雅可比矩阵的定义，先求函数$f$各分量对$x$、$y$的偏导数，再将其按顺序排列成矩阵。设$f\left(\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}u(x,y)\v(x,y)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x + \sin(y)\y+\sin(x)\end{bmatrix}$，其中$u(x,y)=x + \sin(y)$，$v(x,y)=y+\sin(x)$。

步骤一：求$u(x,y)$对$x$、$y$的偏导数

对$u(x,y)$关于$x$求偏导数时，将$y$看作常数：
根据求导公式$(X^n)'=nX^{n-1}$，$(\sin X)'=\cos X$，可得$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x + \sin(y)) = 1+0 = 1$。
对$u(x,y)$关于$y$求偏导数时，将$x$看作常数：
同理可得$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x + \sin(y)) = 0+\cos(y)=\cos(y)$。

步骤二：求$v(x,y)$对$x$、$y$的偏导数

对$v(x,y)$关于$x$求偏导数时，将$y$看作常数：
可得$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y+\sin(x)) = 0+\cos(x)=\cos(x)$。
对$v(x,y)$关于$y$求偏导数时，将$x$看作常数：
可得$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y+\sin(x)) = 1+0 = 1$。

步骤三：构建雅可比矩阵

雅可比矩阵$J$的形式为$J=\begin{bmatrix}\frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}\\frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y}\end{bmatrix}$，将上面求得的偏导数代入可得：

$J=\begin{bmatrix}1&\cos(y)\\cos(x)&1\end{bmatrix}$

综上，该函数的雅可比矩阵是$\begin{bmatrix}1&\cos(y)\\cos(x)&1\end{bmatrix}$。

雅可比矩阵与线性变换

非线性变换也存在局部线性，即使函数整体变换很复杂，但是某个点附近的变换是线性的。

考虑某点附近的线性变换，则其$x$方向基向量变换如下，同理，对$y$方向变换如下图：

对于$2\times2$的雅可比矩阵$\begin{bmatrix}\frac{\partial f_{1}}{\partial x}&\frac{\partial f_{1}}{\partial y}\\frac{\partial f_{2}}{\partial x}&\frac{\partial f_{2}}{\partial y}\end{bmatrix}$与列向量$\begin{bmatrix}dx\dy\end{bmatrix}$相乘：

计算结果矩阵的第一行元素：
用雅可比矩阵的第一行$\left[\frac{\partial f_{1}}{\partial x} \quad \frac{\partial f_{1}}{\partial y}\right]$与列向量$\begin{bmatrix}dx\dy\end{bmatrix}$相乘，即$\frac{\partial f_{1}}{\partial x}\times dx+\frac{\partial f_{1}}{\partial y}\times dy$，得到结果矩阵第一行的元素$\frac{\partial f_{1}}{\partial x}dx+\frac{\partial f_{1}}{\partial y}dy$。
计算结果矩阵的第二行元素：
用雅可比矩阵的第二行$\left[\frac{\partial f_{2}}{\partial x} \quad \frac{\partial f_{2}}{\partial y}\right]$与列向量$\begin{bmatrix}dx\dy\end{bmatrix}$相乘，即$\frac{\partial f_{2}}{\partial x}\times dx+\frac{\partial f_{2}}{\partial y}\times dy$，得到结果矩阵第二行的元素$\frac{\partial f_{2}}{\partial x}dx+ \frac{\partial f_{2}}{\partial y}dy$。

从多元函数全微分角度看，$f_1 = f_1(x,y)$的全微分为$df_1=\frac{\partial f_{1}}{\partial x}dx+\frac{\partial f_{1}}{\partial y}dy$，$f_2 = f_2(x,y)$的全微分为$df_2=\frac{\partial f_{2}}{\partial x}dx+\frac{\partial f_{2}}{\partial y}dy$。那么$\begin{bmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x}dx+\frac{\partial f_{1}}{\partial y}dy\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x}dx+ \frac{\partial f_{2}}{\partial y}dy\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}df_{1}\df_{2}\end{bmatrix}$，表示向量值函数$\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}$的全微分向量形式，体现了函数在$x$和$y$方向微小变化$dx$、$dy$时，函数值的微小变化情况。

这个$2\times2$的矩阵便是表示该点被放大后线性变换的样子，这个矩阵被称为雅可比矩阵。类比线性变换，把2维映2维的多元函数表示成一种空间变换，并通过这个变换的局部线性化来解释雅可比矩阵的含义。

例如，在$(-2，1)$附近线性变换计算如下：

将$x = -2$，$y = 1$代入雅可比矩阵$J$中，可得：

$J(-2,1)=\begin{bmatrix}1&\cos(1)\\cos(-2)&1\end{bmatrix}$

综上，函数$f$在$(-2,1)$处的雅可比矩阵是$\begin{bmatrix}1&\cos(1)\\cos(-2)&1\end{bmatrix}$，

$\det(\begin{bmatrix}1&\cos(1)\\cos(-2)&1\end{bmatrix})\approx 1.227$。

应用

雅可比矩阵在判断函数性质方面有多种应用：

局部可逆性：对于一个向量值函数$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$，若在某点$p$处雅可比矩阵$J_f(p)$的行列式$\det(J_f(p)) \neq 0$，则函数$f$在点$p$的某个邻域内是局部可逆的。比如在二维空间中，若雅可比矩阵行列式不为0，则在该点附近函数能进行一对一的变换，存在反函数。
函数的局部线性近似：雅可比矩阵$J_f(x)$可用于对向量值函数$f$进行局部线性近似。函数$f$在点$x_0$附近可近似表示为$f(x)\approx f(x_0)+J_f(x_0)(x - x_0)$，这有助于分析函数在某点附近的变化趋势，类似一元函数的导数用于线性近似。
判断函数的增减性与极值：在多元函数求极值问题中，通过对雅可比矩阵及其二阶导数相关矩阵（海森矩阵）分析，可以判断函数是否取得极值。若雅可比矩阵在某点处为零矩阵，还需进一步分析海森矩阵的正定性等性质来确定该点是否为极值点。
流形上的映射性质：在研究流形之间的映射时，雅可比矩阵能反映映射的光滑性和切空间之间的线性变换关系。例如，若雅可比矩阵在某点处秩小于流形维度，则该点可能是映射的奇点。