带电粒子在电场中的直线运动

带电粒子在电场中的直线运动

带电粒子在电场中的直线运动

1. 受力分析注意事项

(1) 要掌握静电力的特点。静电力的大小和方向不仅跟电场强度的大小和方向有关，还跟带电粒子的电性和电荷量有关。

(2) 是否考虑重力依据情况而定：

• 基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示外，一般不考虑重力（但不能忽略质量）。
• 带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有特殊说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力。

2. 直线运动条件

(1) 粒子所受合外力F合＝0，粒子静止或做匀速直线运动。
(2) 粒子所受合外力F合≠0且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动。

3. 动力学分析

$$a=\frac{qE}{m},E=\frac{U}{d},{v}^{2}-{v}_{0}^{2}=2ad.$$

4. 功能分析

• 匀强电场中：
  $$W=Eqd=qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}{}^{2}$$
• 非匀强电场中：
  $$W=qU={E}{k2}-{E}{k1}$$

例题解析

例1

如图所示，一充电后的平行板电容器的两极板相距l。在正极板附近有一质量为M、电荷量为q(q>0)的粒子；在负极板有另一质量为m、电荷量为－q的粒子。在静电力的作用下，两粒子同时从静止开始运动。已知两粒子同时经过平行于正极板且与其相距 2/5 l的平面。若两粒子间的相互作用可忽略，不计重力，则M∶m为

A.3∶2 B.2∶1

C.5∶2 D.3∶1

解：设电场强度为 $E$，两粒子的运动时间相同，对电荷量为 $q$ 的粒子有 ${a}{M}=\frac{Eq}{M},\frac{2}{5}l=\frac{1}{2}\cdot \frac{Eq}{M}{t}^{2}$；对电荷量为 $-q$ 的粒子有 ${a}{m}=\frac{Eq}{m},\frac{3}{5}l=\frac{1}{2}\cdot \frac{Eq}{m}{t}^{2}$，联立解得 $\frac{M}{m}=\frac{3}{2}$，故选 A。

例2

如图，长度为 $L$ 的轻质绝缘细杆两端连接两个质量均为 $m$ 的绝缘带电小球 $A$ 和 $B$，两小球均可看作质点，带电荷量为 ${q}{A}=+6q、{q}{B}=-2q$。将小球从图示位置由静止释放，下落一段时间后 $B$ 进入位于下方的匀强电场区域。匀强电场方向坚直向上，场强 $E=\frac{mg}{q}$，重力加速度为 $g$。求：

(1) 小球 $A$ 刚进入电场时的速度大小；
(2) 要使小球B第一次下落时不穿出电场下边界，电场区域的最小高度H。

解：
（1）设小球 $A$ 刚进入电场时的速度大小为 ${v}{0}$，由动能定理可得
$$2mg\left(L+\frac{L}{2}\right)+|{q}{B}|EL=\frac{1}{2}\times 2m{v}{0}^{2}-0$$
解得 ${v}{0}=\sqrt{5gL}$

（2）由动能定理可得
$$2mg\left(H+\frac{L}{2}\right)+|{q}{B}|EH-{q}{A}E\left(H-L\right)=0-0$$
解得 $H=3.5L$。

交变电场相关

1. 常见的交变电场

常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。

2. 常见的题目类型

(1) 粒子做单向直线运动。
(2) 粒子做往返运动。

3. 解题技巧

(1) 按周期性分段研究。

例题解析

例3

如图所示，在两平行金属板中央有一个静止的电子（不计重力），当两板间的电压分别如图中甲、乙、丙、丁所示时，电子在板间运动（假设不与板相碰），下列说法正确的是

A. 电压如甲图所示时，在0～T时间内，电子的电势能一直减少
B. 电压如乙图所示时，在0～ T/2 时间内，电子的电势能先增加后减少
C. 电压如丙图所示时，电子在板间做往复运动
D. 电压如丁图所示时，电子在板间做往复运动

解：

• 若电压如题图甲时，在0～T时间内，静电力先向左后向右，则电子先向左做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，即静电力先做正功后做负功，电势能先减少后增加，故A错误；
• 电压如题图乙时，在0～ T/2时间内，电子向右先加速后减速，即静电力先做正功后做负功，电势能先减少后增加，故B错误；
• 电压如题图丙时，电子向左先做加速运动，过了 T/2后做减速运动，到T时速度减为0，之后重复前面的运动，故电子一直朝同一方向运动，故C错误；
• 电压如题图丁时, 电子先向左加速, 到 $\frac{1}{4}T$ 后向左减速, $\frac{1}{2}T$ 后向右加速, $\frac{3}{4}T$ 后向右减速, $T$ 时速度减为零, 之后重复前面的运动, 则电子做往复运动, 故 D 正确。

例4

某电场的电场强度E随时间t变化规律的图像如图所示。当t＝0时，在该电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受静电力作用，则下列说法中正确的是

A. 带电粒子将始终向同一个方向运动
B. 0～3 s内静电力对带电粒子的冲量为0
C. 2 s末带电粒子回到原出发点
D. 0～2 s内，静电力做的总功不为零

解：
由牛顿第二定律可得带电粒子在第 1 s 内的加速度大小为 ${a}{1}=\frac{q{E}{1}}{m}$,
第 2 s 内加速度大小为 ${a}{2}=\frac{q{E}{2}}{m}$,
因 ${E}{2}=2{E}{1}$，则 ${a}{2}=2{a}{1}$，则带电粒子先匀加速运动 1 s 再匀减速 0.5 s时速度为零，接下来的 0.5 s 将反向匀加速，再反向匀减速， $t=3s$时速度为零， $v-t$ 图像如图所示。由图可知，带电粒子在电场中做往复运动，故A错误；
由v－t图像可知，t＝3 s时，v＝0，根据动量定理可知，0～3 s内静电力对带电粒子的冲量为0，故B正确；
由v－t图像面积表示位移可知，t＝2 s时，带电粒子位移不为零，没有回到出发原点，故C错误；
由v－t图像可知，t＝2 s时，v≠0，根据动能定理可知，0～2 s内静电力做的总功不为零，故D正确。

例5

在光滑绝缘的水平面上，长为2L的绝缘轻质细杆的两端各连接一个质量均为m的带电小球A和B（均可视为质点）组成一个带电系统，球A所带的电荷量为＋2q，球B所带的电荷量为－3q。现让A处于如图所示的有界匀强电场区域MNQP内，已知虚线MN位于细杆的中垂线，MN和PQ的距离为4L，匀强电场的电场强度大小为E、方向水平向右。释放带电系统，让A、B从静止开始运动，不考虑其他因素的影响。求：

(1) 释放带电系统的瞬间，两小球加速度的大小；
(2) 带电系统从开始运动到速度第一次为零所需的时间；
(3) 带电系统运动过程中，B球电势能增加的最大值。

解：
（1） 对整体应用牛顿第二定律有 $E\cdot 2q=2ma$, 得出两小球加速度大小为
$$a=\frac{Eq}{m}$$

（2）系统向右加速运动阶段 $L=\frac{1}{2}a{t}{1}{}^{2}$
解得 ${t}{1}=\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$
此时 $B$ 球刚刚进入 $MN$，带电系统的速度 $v=a{t}{1}$
假设小球 $A$ 不会出电场区域, 带电系统向右减速运动阶段有 $-3Eq+$ $2Eq=2m{a}^{\prime }$, 加速度 ${a}^{\prime }=-\frac{Eq}{2m}$
减速运动时间 ${t}{2}=\frac{0-v}{{a}^{\prime }}=2\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$
减速运动的距离 ${L}^{\prime }=\frac{0-{v}^{2}}{2{a}^{\prime }}=2L$, 可知小球 $A$ 恰好运动到 $PQ$ 边界时速度减为零，假设成立。所以带电系统从开始运动到速度第一次为零所需的时间 $t={t}{1}+{t}{2}=3\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$

（3）B球在电场中向右运动的最大距离x＝2L
进而求出B球电势能增加的最大值ΔEp＝－W电＝6EqL。