线性系统的根轨迹分析
线性系统的根轨迹分析
根轨迹法是分析线性系统稳定性的重要工具，通过绘制闭环极点在S平面上的轨迹，可以直观地判断系统的稳定性。本文将详细介绍根轨迹法的基本概念、绘制规则及其在系统稳定性分析中的应用。
根轨迹法的基本概念
根轨迹法是通过求解开环零点和开环极点，来绘制闭环极点在S平面上的位置，从而判断系统稳定性的一种方法。具体来说，根轨迹是指系统特征方程式的根（闭环极点）随系统参数变化在S平面上运动而形成的轨迹。
在开环传递函数中，当某个参数发生变化时，其特征根或闭环极点在S平面上运行所形成的轨迹即为根轨迹。根轨迹分析主要基于两个条件：幅值条件和相角条件。幅值条件要求相位差为±180度，而相角条件则与系统零点和极点的位置密切相关。
根轨迹的绘制规则
规则一：连续性和对称性
系统根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于实轴。
规则二：起始和终止条件
当K1=0时，根轨迹的各条分支从开环极点出发；当K1→无穷时，有m条分支趋向于开环零点，另外有n-m条分支趋向无穷远处。（n是极点个数，m是零点个数）
规则三：实轴上的根轨迹
在S平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。
规则四：渐近线
根轨迹中(n-m)条趋向无穷远处分支的渐近线相角为（渐近线与实轴交的角度）。渐近线会趋向于无穷远，渐近线上的点，s点很远，很远。
规则五：渐近线与实轴的交点
伸向无穷远处的根轨迹的渐近线与实轴交于一点，交点的坐标为
规则六：复平面上的分离点
复平面上根轨迹的分离点必须满足方程。上述条件只是确定分离点的必要条件，不是充分条件。
规则七：出射角和入射角
在开环复数极点处根轨迹的出射角为，在开环零点处根轨迹的入射角为，为其它开环零、极点对该出射点或入射点提供的相角。
规则八：与虚轴的交点
根轨迹与虚轴的交点可用s=jw代入特征方程求解，或都利用劳斯判据确定。根轨迹与虚轴相交，处于临界稳定状态。
规则九：参数值的计算
根轨迹上每一点所对应的参数值可以按幅值条件来计算。
根轨迹分析的应用
通过根轨迹分析，可以直观地判断系统的稳定性。例如，当K1<Kb时，三个闭环极点全部在实轴上，系统处于过阻尼状态；当K1=Kb时，系统处于临界阻尼状态；当Kb<K1<Kc时，系统处于欠阻尼状态，时域响应中有震荡成分；当K1>Kc时，系统不稳定。
总结
根轨迹法是分析线性系统稳定性的重要工具，通过绘制闭环极点在S平面上的轨迹，可以直观地判断系统的稳定性。本文详细介绍了根轨迹法的基本概念、绘制规则及其在系统稳定性分析中的应用，对于学习自动控制理论的学生和工程师具有重要的参考价值。