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中考数学：掌握二次函数的核心技巧

创作时间:

作者:

@小白创作中心

中考数学：掌握二次函数的核心技巧

引用

来源

https://www.yizhongkao.com/5773.html

二次函数是中考数学中的重点和难点，掌握其核心技巧对于提高解题能力和考试成绩至关重要。本文系统梳理了二次函数的四大考点，并通过精选例题和详细解析，帮助学生深入理解二次函数的定义、图像、性质及其在动点问题中的应用。

二次函数的核心考点

考点10：函数的基本概念

考核要求：
通过实例认识变量、自变量、因变量，理解函数及其定义域、函数值等概念；
知道常值函数；
掌握函数的表示方法，理解符号的意义。

考点11：用待定系数法求二次函数的解析式

考核要求：
掌握求函数解析式的方法；
熟练运用待定系数法求解；
注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原。

考点12：画二次函数的图像

考核要求：
理解函数图像的意义，能在平面直角坐标系中用描点法画函数图像；
理解二次函数的图像，体会数形结合思想；
能画出二次函数的大致图像。

考点13：二次函数的图像及其基本性质

考核要求：
借助图像直观认识和掌握二次函数的性质；
会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质；
注意解题时要数形结合，二次函数的平移要化成顶点式。

典型例题解析

例题1：二次函数图像与系数的关系

题目：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．
其中，正确结论的个数是（）

解析：

由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；
先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；
一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可。

例题2：动点问题的函数图象

题目：矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按ABC的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）

解析：

①点P在AB上时，0＜x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；
②点P在BC上时，3＜x≤5，根据相似三角形的性质列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解。

例题3：全等三角形与函数关系

题目：AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EFDE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C。设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）

解析：作FGBC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根据平行线的性质即可求得。

例题4：动点问题的函数图象

题目：AB是半圆O的直径，点P从点A出发，沿半圆弧AB顺时针方向匀速移动至点B，运动时间为t，△ABP的面积为S，则下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是（）

解析：点P在弧AB上运动时，随着时间t的增大，点P到AB的距离先变大，当到达弧AB的中点时最大，然后逐渐变小，直至到达点B时为0，并且点P到AB的距离的变化不是直线变化。

例题5：动点问题的函数图象

题目：在△ABC中，AC=BC，有一动点P从点A出发，沿ACBA匀速运动。则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是（）

解析：

该题属于分段函数：点P在边AC上时，s随t的增大而减小；
当点P在边BC上时，s随t的增大而增大；
当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小；
当点P在线段AD上时，s随t的增大而增大。

例题6：动点问题的函数图象

题目：一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶子和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，其主视图如图所示。小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是

解析：桶口的半径是杯口半径的2倍，水注满杯口周围所用时间是注满杯子所用时间的3倍。

例题7：一次函数图象上点的坐标特征

题目：直线与轴，轴分别交于两点，把沿着直线翻折后得到，则点的坐标是

解析：连接，由直线可知,故,点为点O关于直线的对称点,故，是等边三角形，点的横坐标是长度的一半，纵坐标则是的高3，故选A。

例题8：一次函数图象上点的坐标特征

题目：已知A1、A2、A3、、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3==AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、、Pn。△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、、Sn，则Sn为（）

解析：根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、、Bn、Bn+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、、Sn，进而得出答案。

例题9：动点问题的函数图象

题目：已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4。E是BC边上的一个动点，AE上EF,EF交CD于点F。设BE=x,FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（）

解析：易证△ABE∽△ECF，根据相似比得出函数表达式，在判断图像。

例题10：平行四边形的性质

题目：点P是?ABCD边上一动点，沿ADCB的路径移动，设P点（）经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是

解析：分三段来考虑点P沿AD运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿DC移动，△BAP的面积不变；点P沿CB的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可。

例题11：圆的性质

题目：如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）

解析：作PCx轴于C，交AB于D，作PEAB于E，连结PB，如图，根据圆的性质和勾股定理求解。

例题12：二次函数与一次函数的综合

题目：已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（）

解析：根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可。

例题13：反比例函数与一次函数交点问题

题目：如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于E，F两点.若AB=2EF，则k的值是【】

解析：利用相似三角形的性质和轴对称的性质求解。

例题14：二次函数图象上点的坐标特征

题目：已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）

解析：把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理，然后根据非负数的性质列式求出a、b，再求出点A的坐标，然后求出抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可。

例题15：二次函数图象与系数的关系

题目：已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m﹣1）。
其中正确的个数是（）

解析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断。

例题16：二次函数图象与系数的关系

题目：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大。
其中正确的结论有（）

解析：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小。

例题17：二次函数的性质

题目：二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a0）中的x与y的部分对应值如下表：
X﹣1013
y﹣1353
下列结论：
（1）ac＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小。
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0。
其中正确的个数为（）

解析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解。