高中数学21种解题方法与技巧+三种提分方法
高中数学21种解题方法与技巧+三种提分方法
高中数学相对于初中数学难度提升较大，很多同学在学习过程中感到困惑。本文总结了21种实用的解题方法与技巧，并提供了三种有效的提分方法，帮助同学们更好地掌握数学知识，提高解题能力。
解题方法与技巧
解决绝对值问题
主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。具体转化方法有：
- 分类讨论法：根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
- 零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
- 两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
- 几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
因式分解
根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步骤是：
- 提取公因式
- 选择用公式
- 十字相乘法
- 分组分解法
- 拆项添项法
- 配方法
换元法
解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。换元法解方程的一般步骤是：
- 设元→换元→解元→还元
待定系数法
待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。其解题步骤是：
- ①设
- ②列
- ③解
- ④写
复杂代数等式
复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
- 因式分解型：(-----)(----)=0 两种情况为或型
- 配成平方型：(----)2+(----)2=0 两种情况为且型
数学中两个最伟大的解题思路
- (1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组
- (2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组
化简二次根式
基本思路是：把√m化成完全平方式。即：
观察法
代数式求值
方法有：
- (1)直接代入法
- (2)化简代入法
- (3)适当变形法（和积代入法）
注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
解含参方程
方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：
- (1)按照类型求解
- (2)根据需要讨论
- (3)分类写出结论
恒相等成立的有用条件
- (1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。
- (2)ax2＋bx＋c＝0对于任意x都成立关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有无数解a=0、b=0、c=0。
恒不等成立的条件
由一元二次不等式解集为R的有关结论容易得到下列恒不等成立的条件：
平移规律
图像的平移规律是研究复杂函数的重要方法。平移规律是：
图像法
讨论函数性质的重要方法是图像法——看图像、得性质。
- 定义域 图像在X轴上对应的部分
- 值 域 图像在Y轴上对应的部分
- 单调性
- 从左向右看，连续上升的一段在X轴上对应的区间是增区间；从左向右看，连续下降的一段在X轴上对应的区间是减区间。
- 最 值 图像最高点处有最大值，图像最低点处有最小值
- 奇偶性 关于Y轴对称是偶函数，关于原点对称是奇函数
函数、方程、不等式间的重要关系
- 方程的根
- 函数图像与x轴交点横坐标
- 不等式解集端点
一元二次不等式的解法
一元二次不等式可以用因式分解转化为二元一次不等式组去解，但比较复杂；它的简便的实用解法是根据“三个二次”间的关系，利用二次函数的图像去解。具体步骤如下：
- 二次化为正
- 判别且求根
- 画出示意图
- 解集横轴中
一元二次方程根的讨论
一元二次方程根的符号问题或m型问题可以利用根的判别式和根与系数的关系来解决，但根的一般问题、特别是区间根的问题要根据“三个二次”间的关系，利用二次函数的图像来解决。“图像法”解决一元二次方程根的问题的一般思路是：
- 题意
- 二次函数图像
- 不等式组
不等式组包括：a的符号；△的情况；对称轴的位置；区间端点函数值的符号。
基本函数在区间上的值域
我们学过的一次函数、反比例函数、二次函数等有名称的函数是基本函数。基本函数求值域或最值有两种情况：
- (1)定义域没有特别限制时---记忆法或结论法；
- (2)定义域有特别限制时---图像截断法，一般思路是：
- 画出图像
- 截出一断
- 得出结论
最值型应用题的解法
应用题中，涉及“一个变量取什么值时另一个变量取得最大值或最小值”的问题是最值型应用题。解决最值型应用题的基本思路是函数思想法，其解题步骤是：
- 设变量
- 列函数
- 求最值
- 写结论
穿线法
穿线法是解高次不等式和分式不等式的最好方法。其一般思路是：
- 首项化正
- 求根标根
- 右上起穿
- 奇穿偶回
注意： - ①高次不等式首先要用移项和因式分解的方法化为“左边乘积、右边是零”的形式。
- ②分式不等式一般不能用两边都乘去分母的方法来解，要通过移项、通分合并、因式分解的方法化为“商零式”，用穿线法解。
提分方法
1、错题分析法
对于数学，多做题是取得数学高分的保证。但是不能忽视纠错这个环节。有很多同学，他们同样是非常努力的，但是成绩总是不见提高，因为他们只是埋头题海之中，对做错的题重视不够。做了很多的题，完了错的还是做错，这样就得不到提高。要在保证题的数量的同时，把做错的题一定得搞清楚弄明白，最好能够反复再算几遍，争取下一次遇到同类型的题就可以拿下来，那么题海战术才能真正体现它的魅力所在。
2、总结归类
首先，根据多年的经验，我们将解题思路相近甚至相同的习题归类。其次静下心来思考解这类题有哪几种入手途径，每种途径在具体操作时我们应当注意什么问题。比如，使用韦达定理的时候我们要考虑一元二次方程是否有根，特别是我们在做圆锥曲线习题时，有的题目就是通过一元二次方程有根这个条件找参数的范围。
再次，我们必须选择一定数量的习题练习来验证我们的想法。这时候做题一定要仔细完整。接下来，对照答案检查做得是否正确。如果错误，就要分析自己的思路在哪里出了问题。最后，再回想一遍。以后考试，遇到此类习题就能轻松地找到入手途径，节省时间。
3、一题多解法
数学中的很多题目，都可以通过“一题多解”来解决，这个方法可能有些老掉牙，但绝对是有效的方法，同时，学生的数学能力也会随之提高。但之所以在这里提出来，是因为这样的方法并不是对于所有知识点都适用的。
举个例子，对于一道导数题，一般会遵循“求导—极值讨论”的步骤进行，很难从中发掘多种解法，而对于三角函数的大题，也一般考查“正余弦定理”、“三角函数的定义域、值域”，也是一题多解不适用的。而像对于解析几何这类的压轴题而言，一题多解就是很能锻炼我们思维方式。
比方说，研究直线与圆锥曲线位置关系的题目，直线的不同设法（关于x、y的方程)，圆锥曲线的不同表示形式（方程形式、三角函数形式）都会对题目的解答产生不同的影响。这就需要我们碰到这类大题，勤于思考，争取做到“一题多解”。