任意形状截面的螺线管磁场分布特点

任意形状截面的螺线管磁场分布特点

本文通过镜像对称性的概念，详细解释了无限长直螺线管和环形螺线管的磁场分布规律。文章涉及物理学中的对称性、极矢量和轴矢量等概念，具有较高的专业性和学术性。

对任意形状横截面的载流无限长直螺线管和环形螺线管，有一种新的对称性，被称为镜像对称性，这种对称性导致磁场只有垂直于对称面的分量。

通过直观的分析和对称性论证的方式，我们已经得到了具有对称横截面的无限长载流直螺线管和载流环形螺线管激发的磁场的分布特点。其实，对于无限长直螺线管和环形螺线管，它们的横截面无需是对称的图形。对于这两种类型的载流螺线管，不管横截面的形状如何，它们激发的磁场的分布特点是一样的。不过，要得到这个结论，需要考虑一种新的对称性：镜像对称性。

所谓镜像对称性，直观地说，就是关于某个平面的对称性。设想有一个平面 ，如果在这个平面的两侧与平面等距离处各有一个如下左图所示的电流元，则这一对电流元就是关于 面镜像对称的。两个电流元各自是对方的关于 面的镜像，它们在 面上任一点激发的磁场也是关于 面镜像对称的。

为了求出 面上任意一点的磁感应强度，以该点为原点，垂直于 面的方向为 轴，建立笛卡尔坐标系。显然，这个坐标系的 轴和 轴就在 面上。在这个坐标系中，假设右边那个电流元的位置矢量和线元矢量分别为则可以得出从该电流元指向场点的矢量：于是，这个电流元在场点激发的磁感应强度根据两个电流元关于 面对称的特点，不难写出左边那个电流元的位置矢量和线元矢量：由此得到从该电流元指向场点的矢量：该电流元在场点激发的磁感应强度另一方面，由于两个电流元到场点的距离相等，因此，它们在场点激发的磁感应强度就可以仅用矢量积来表征：我们注意到，一对镜像对称的电流元激发的磁场也是对称的。不过，磁场的对称性与电流元的位置矢量和线元矢量的对称性不一样，这种差别被用来区分两种不同类型的矢量。

位矢、线元、速度和加速度，以及电场强度等矢量，当执行镜像变换时，与对称面平行的分量不变，垂直的分量则反向，具有这种镜像对称性质的矢量被称为极矢量；用两个极矢量作矢量积，乘积矢量的镜像对称性质发生了改变，当执行镜像变换时，平行于对称面的分量反向，垂直的分量则不变，具有这种镜像对称性质的矢量被称为轴矢量，磁感应强度就是一种典型的轴矢量。直观地看，轴矢量的对称性是关于对称面的垂线对称。

在物理学中，有许多轴矢量的例子。比如说，在力学课程中已经熟悉的力矩和角动量，它们是由两个极矢量作矢量积得出的，是轴矢量。在电磁学的课程中，我们不久前引入了一个载流线圈的磁矩这个概念，今后，在量子理论的课程中，还会引入两个类似于角动量和磁矩的概念：自旋和自旋磁矩，这些物理量虽然不是由矢量积生成，但也是轴矢量。

回到载流螺线管的问题中。将两个关于 面对称的电流元在 面上任意一点激发的磁场相加，就得到两个电流元在该点处激发的合磁场：结果发现，一对镜像对称的电流元，在对称面上任意一点激发的磁场垂直于对称面。既然电流元如此，一对镜像对称的载流回路自然要继承电流元的对称性，在对称面上激发的磁场必然与对称面垂直。

把镜像对称载流回路的上述性质应用到螺线管的问题中。无论是直螺线管还是环形螺线管，对空间中的任意一点，都可以作一个过场点的平面作为对称面。对直螺线管，该对称面与螺线管垂直，如上中图所示；对环形螺线管，该对称面过中轴线，如上右图所示。两种螺线管都可以看作由一对一对关于对称面镜像对称的载流回路组成。于是，在对称面上的任意点，磁场必定垂直于对称面。对直螺线管，该方向沿螺线管的轴线方向，这导致磁感应线平行于轴线；对环形螺线管，该方向是以中轴线为圆心的圆周的切向，这个圆周就是一条磁感应线。