积分学：重积分与曲线积分曲面积分的理解
积分学：重积分与曲线积分曲面积分的理解
积分作为高等数学的核心部分，主要包括一重积分、二重积分、三重积分、第一型曲线积分、第二型曲线积分、第一型曲面积分和第二型曲面积分。熟练掌握这些积分的计算方法和重要公式是学习微积分学的基础。本文将对各种积分的概念、意义和求解方法进行详细总结。
1.一重积分
一重积分主要研究不定积分和定积分。不定积分的求解是其他积分的基础，因此需要充分理解。
1.1 意义
∫f(x)dx：dx为长度元素
一重积分表示一个物理量在另一个物理量上的累加效果。例如，速度关于时间的函数为v(t)，速度*时间=路程。
∫v(t)dt=s(t)
一重积分还可以表示积分函数的变化情况。其几何意义是求得函数f(x)在区间(a,b)上函数与x轴围成图形的面积。
1.2 求解
☆☆☆换元积分法：
∫f(u(x))u`(x)dx = ∫f(u)du
☆☆☆分布积分法：
∫udv=uv-∫vdu
1.3 基本积分公式
2.二重积分
2.1 意义
∫∫(D)f(x,y)dθ：dθ为面积元素
二重积分表示一个物理量在一个二维物理量上的累加效果。例如，曲顶柱体的体积、平面薄片的质量。其几何意义是f(x,y)在区域D上与xOy平面围成的闭区域的体积。
2.2 求解
☆☆☆基本求解方法：
∫∫f(x,y)dθ=∫(a->b) dx∫(φ1(x)->φ2(x)) f(x,y)dy或∫∫f(x,y)dθ=∫(c->d) dy∫(φ1(y)->φ2(y)) f(x,y)dx
☆☆☆换元积分法：
1.极坐标，令x=rcosθ，y=rsinθ。∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫f(rcosθ,rsinθ)r drdθ。注意这里多了一个r
2.直角坐标，x=x(u,v) ，y=y(u,v)。∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫f[x(u,v),y(u,v)]|J|dudv。这里的J是雅可比行列式，
J=∂(x,y)/∂(u,v)=(∂x/∂u)(∂y/∂v)-(∂x/∂v)(∂y/∂u)
3.三重积分
3.1 意义
已知ρ(x,y,z)表示空间体在每一点的密度大小。积分可以求得物体的质量。
∫∫∫(Ω)ρ(x,y,z)dV，这里dV为体积元素。
3.2 求解
☆☆☆基本求解方法：
∫∫f(x,y,z)dV=∫∫dxdy∫(z1(x,y)->z2(x,y)) f(x,y,z)dz或∫∫f(x,y,z)dV=∫(α->β) dz∫∫*D(z1)->D(z2)*f(x,y,z)dxdy或
☆☆☆换元积分法：
1.极坐标，令x=rcosθ，y=rsinθ。∫∫∫f(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫f(rcosθ,rsinθ,z)r drdθdz。和二重积分还原一样。
2.球面坐标，令x=rsinφcosθ，y=rsinφsinθ，z=cosφ。∫∫∫f(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫[f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)(r^2)sinφ] drdθdz.这里多了(r^2)sinφ。
3.直角坐标，x=x(u,v,l) ，y=y(u,v,l)，z=z(u,v,l)。∫∫∫f(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫f[x(u,v,l),y(u,v,l),z(u,v,l)] |J| dudvdl。这里的J是雅可比行列式，J=∂(x,y,z)/∂(u,v,l).
4.曲线积分
4.1 第一型曲线积分
4.1.1 意义
已知一条曲线的线密度，求曲线的质量。这里不同于求曲线的长度，如果这是一条质量均匀的曲线，那么利用弧微分求出它的长度就可以知道它的质量了。但是现在只能知到它的线密度，代表他不一定是均匀的。
∫(L)f(x,y)ds，表示对平面上弧长的曲线积分。∫(L)f(x,y,z)ds就可以表示空间的曲线了。
4.1.2 求解
∫(L)f(x,y)ds
对于参数方程x=x(t),y=y(t)。ds=√[x(t)*x(t)+y(t)*y(t) ]dt
∴ ∫(L)f(x,y)ds = ∫(ta->tb)f[x(t),y(t)] √[x(t)*x(t)+y(t)*y(t) ]dt
1.如果y=y(x)，∫(L)f(x,y)ds = ∫(xa->xb)f[x,y(x)] √[1+y(x)*y(x) ]dx
2.如果x=x(y)，∫(L)f(x,y)ds = ∫(yc->yd)f[x(y),y] √[x(y)*x(y)+1 ]dy
4.2 第二型曲线积分
4.2.1 意义
在xOy平面内一质点受到变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用沿光滑曲线弧L,从点A运动到点B，求F做的功。
∫(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy。如果L是闭合曲线则写成∮(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy
4.2.2 求解
对于参数方程x=x(t),y=y(t)
∫(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫(ta->tb)[P(x(t),(t))*x(t)+Q(x(t),y(t))*y(t)]dt
4.3 第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系
∫(L)Pdx+Qdy+Rdz=∫(L)[Pcosα+Qcosβ+Rcosγ]ds
αβγ分别为曲线在点(x,y,z)处与坐标轴的夹角。
5.曲面积分
5.1 第一型曲面积分
5.1.1 意义
类似于第一型曲线积分，现在知道曲面的面密度ρ(x,y,z),求曲面的质量。
∫∫(∑)ρ(x,y,z)dS
5.1.2 求解
∫∫(∑)f(x,y,z)dS
对于方程z=z(x,y)。∫ ∫(∑)f(x,y,z)dS = ∫(Dxy)f[x,y,z(x,y)] √[1+(∂z/∂x)(∂z/∂x) + (∂z/∂y)(∂z/∂y) ]dxdy
5.2 第二型曲面积分
5.2.1 意义
对于稳定流动的不可压缩的流体在(x,y,z)处的流度可以表示为v(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))
求单位时间内流向定向曲面的流体的质量及流量φ。
φ= ∫∫(∑)[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ ]dS
5.2.2 求解
∫∫(∑)P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy
=±∫∫(Dyz)P(x,y,z)dydz±∫∫(Dxz)Q(x,y,z)dxdz±∫∫(Dxy)R(x,y,z)dxdy
正负号根据∑面的正负方向来判断。
5.3 第一型曲面积分与第二型曲面积分之间的联系
∫∫(∑)P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy=∫∫(∑)[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ ]dS
即∫∫(∑)Pydz+Qdxdz+Rdxdy=∫∫(∑)(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ )dS