数列极限的概念及性质
数列极限的概念及性质
数列极限概念
数列
定义
如果按照某一法则, 对每一，对应着一个确定的实数, 则得到一个序列。
这一序列叫做数列, 记为{}, 其中第n项{}叫做数列的一般项.
几何意义
数列{}能看作数轴上的一个动点, 依次取数轴上的点
数列与函数
数列{}可以看作自变量为正整数n的函数:
数列的极限
实例
圆的面积：
圆是曲边形,它的内接正多边形是直边形,二者有本质的区别.但是这个区别又不是绝对的,在一定条件下,圆的内接正多边形的面积能够转化成该圆面积.这个条件就是“当圆的内接正多边形的边数无限增加时”,注意其中“无限”二字。因此在无限过程中,直边形才能转化为曲边形,即在无限的过程中,由直边形的面积数列{Pn}得到了曲边形的面积, 如果仅停留在有限过程或没完没了的变化下去,人们永远也认识不了圆的面积,但是飞跃式的思维方法,不仅使人们看到数列{Pn}的变化是没完没了,永无终结的.同时它又使人们看到了无限变化过程中飞跃式的“终结”,从而人们也就认识了圆的面积。这就是极限的思想和方法在计算圆的面积上的应用。
根据以上的分析，圆的面积可以这样定义：若圆的内接正多边形的面积数列 {} 稳定于某个数a（当n无限增大时），则称a是该圆的面积。
数列极限的通俗定义
当n无限增大时, 如果数列{}的一般项无限接近于常数a, 则常数a称为数列{}的极限, 或称数列{}收敛于a, 记为
- 分析
当n无限增大时,无限接近于a .
当n无限增大时,无限接近于0 .
当n无限增大时,可以任意小, 要多小就能有多小.
当n增大到一定程度以后,能小于事先给定的任意小的正数.
因此, 如果 n 增大到一定程度以后,能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时,无限接近于常数a.i
将”无限接近于a“，数学符号化为“”
将“无限大时”，数学符号化为
数列极限的定义
- 注
- 此定义习惯上称为极限的定义，它用两个动态指标和刻画了极限的实质，用定量地刻画了与之间的距离任意小,即任给标志着“要多小”的要求，用表示充分大。这个定义有三个要素：正数，正数，不等式
- 定义中的具有二重性：一是的任意性，二是的相对固定性。的二重性体现了逼近时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过的相对固定性来实现）。
- 定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在相对固定后才能确定的，且由来选定，一般说来，越小，越大，但须注意，对于一个固定的，合乎定义要求的不是唯一的。用定义验证以为极限时，关键在于设法由给定的，求出一个相应的，使当时，不等式成立。
- 定义中的不等式是指下面
一串不等式。而对不一定要求其成立。
数列极限的几何定义
因而在这个领域之外至多能有数列中的有限个点
这就表明数列{}所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点的任意小邻域内，同时也表明数列{}中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。
用极限定义证明极限的例题
1.求证
证明
收敛数列的性质
四个法则
1.一个收敛数列的极限唯一。
证明：反证法。
假设{}存在两个极限且。
取
2.收敛数列有界。
（）
证明：
3.保序性：
证明是显然的。
注意：
4.夹逼性：
运算法则
例题：
1.求
解：
上面的证明涉及证明
这里给出证明方法：
二项式定理
证明:
2.求
解：
又
所以
3.求
解：
易得
4.求
解：
综上
5.求
解：
单调有界定理
单调递增（递减）且有上界（下界）的数列必定收敛。
（证明略）
O’Stolz定理
例题：
1.求
解：
2.已知
求
解：
公理：Cauchy收敛准则
- 调和数列，不是收敛数列，因为它无法满足Cauchy收敛准则
例题
1.求
解：
证明：
2.求
解：
证明：
3.求
解：