什么是标准正态分布

什么是标准正态分布

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/u013172930/article/details/144529214

标准正态分布是统计学和概率论中的一个核心概念，它不仅是正态分布的标准化形式，更在数据分析、假设检验、机器学习等多个领域有着广泛的应用。本文将详细介绍标准正态分布的定义、特征、图形示意、累积分布函数、标准化方法及其实际应用。

1. 标准正态分布的定义

标准正态分布的概率密度函数（PDF）为：
$$
p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right), \quad -\infty < x < \infty
$$
其中：

• $x$：随机变量；
• $\exp(-x^2/2)$：指数部分决定了分布的形状；
• $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$：归一化常数，保证总概率为1。

2. 特征

1. 均值和方差

• 均值（期望）：$\mu = 0$
• 方差：$\sigma^2 = 1$

2. 对称性
   标准正态分布是关于$x = 0$对称的。

3. 分布曲线

• 呈钟形曲线，也称为高斯曲线；
• 曲线在$x = 0$处最高，向两侧逐渐减小；
• 越远离中心，概率密度越小。

4. 性质

• 总概率等于1：
  $$
  \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) dx = 1
  $$
• 关于0的奇函数（如$x$）的积分为0：
  $$
  \int_{-\infty}^\infty x \cdot p(x) , dx = 0
  $$

3. 图形示意

标准正态分布的曲线如下图所示：

• 横轴为$x$（随机变量取值）；
• 纵轴为概率密度$p(x)$；
• 曲线中心对称，均值为0，峰值位于$x = 0$。

4. 标准正态分布的累积分布函数（CDF）

标准正态分布的累积分布函数表示随机变量$X$小于等于$x$的概率，定义为：
$$
\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right) dt
$$

5. 标准正态分布的标准化

任意正态分布$N(\mu, \sigma^2)$可以通过标准化变换转化为标准正态分布：
$$
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}, \quad Z \sim N(0, 1)
$$
这里：

• $X$：原始随机变量；
• $\mu$：原始分布的均值；
• $\sigma$：原始分布的标准差；
• $Z$：标准化后的变量，服从标准正态分布。

6. 应用

标准正态分布在统计学、机器学习和自然科学中有广泛应用，主要包括：

• 假设检验和显著性检验；
• Z分数计算，用于数据标准化；
• 蒙特卡洛模拟中用作基础概率分布；
• 机器学习中的概率模型，如高斯过程和贝叶斯方法。

总结

标准正态分布是均值为0、方差为1的正态分布。其概率密度函数呈对称的钟形曲线，是统计学中最重要的分布之一，广泛用于数据分析、概率估计和模拟计算中。