高等数学：高阶偏导数与隐函数的高阶偏导数深度解析

高等数学：高阶偏导数与隐函数的高阶偏导数深度解析

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/m0_64075307/article/details/123713838

在高等数学的学习中，高阶偏导数与隐函数的高阶偏导数是两个重要的概念。本文将从一元隐函数的概念出发，逐步解释多元隐函数（特别是由三元方程确定的二元隐函数）的高阶偏导数的求解方法。

一元隐函数的概念

首先需要了解一元隐函数的概念。在一元隐函数中，y可以理解为x的复合函数。隐函数的写法如F(x, y) = 0，这种写法很容易与多元隐函数的写法相混淆。在多元隐函数中，如F(x, y, z) = 0，实际上只有两个自变量x和y，而z的作用类似于一元函数中的y，即z是含有x和y的复合函数。如果题目中没有说明F(x, y, z) = 0是隐函数，那么z就和x、y一样被作为普通变量看待，此时是一个由三元方程确定的二元隐函数。

多元隐函数中变量z的处理

在多元隐函数中，变量z不是一个独立的变量，而是一个函数。无论是在一阶求导还是二阶求导过程中，都需要将z视为x和y的函数。在求多元隐函数的高阶偏导数时，不能将z看作常数。例如，在求二阶偏导数时，需要考虑z对x和y的依赖关系。

多元隐函数的高阶偏导数

以二阶偏导数为例，先求一阶偏导数，然后在隐函数一阶导数的基础上求二阶导数。与一元隐函数求导类似，但在多元隐函数中，由于z是x和y的函数，所以在求二阶导数时不能将z看作常数。虽然在求一阶导数时可以将z视为常数，但根据一阶隐函数求导公式的推导可知，实际上z=f(x, y)是被当作函数处理的。

例题解析

下面通过一个具体的例题来说明多元隐函数高阶偏导数的求解方法：

本文原文来自CSDN