空间中两个平面求交线

空间中两个平面求交线

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/chenbb1989/article/details/122198140

本文讨论了如何求解空间中两个平面的交线方程。通过求解直线方向向量和交线上一点的具体方法，可以得到交线方程。文章内容条理清晰，逻辑性强，适合对计算机图形学或数学感兴趣的读者阅读。

问题描述

给出两个平面方程：
$$
A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \
A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0
$$

求解这两个平面的交线方程。

基本思路

一条直线可以用以下形式表示：
$$
P = O + t \cdot D
$$
其中，$O$ 是直线上的一点，$D$ 是方向向量。

对于两个平面，只要确定 $D$ 和 $O$ 就可以确定这条交线。因此，问题可以分解为两个子问题：

1. 求解直线方向向量
2. 求解交线上一点

求解直线方向向量

交线肯定在平面1和平面2上，所以与平面1和平面2的法线都垂直。因此，可以通过将两个平面的法线 $N_1$ 和 $N_2$ 进行叉乘来求出交线方向。

特殊情况：
当 $N_1$ 和 $N_2$ 平行时，说明两个平面平行，按照无交线处理。

求解交线上一点

在上述条件有交线的情况下，可以通过以下步骤求解交线上一点：

1. 设 $z=0$，得到两个方程：
   $$
   A_1x + B_1y + D_1 = 0 \
   A_2x + B_2y + D_2 = 0
   $$

2. 解出上述方程中的 $x$ 和 $y$，即可得到交线上的一点。

特殊情况：
当遇到形如 $z=?$、$x=?$ 或 $y=?$ 的特殊平面方程时，需要调整坐标轴。可以设 $x=0$ 或 $y=0$ 来求解。

总结

通过以上两步解出交线上一点 $O$ 和直线方向 $D$ 后，可以得到交线方程：
$$
P = O + t \cdot D
$$

这种方法不仅适用于计算机图形学中的平面交线计算，也可以帮助读者更好地理解向量和线性代数的相关知识。