梯度和散度

梯度和散度

正三角符号Δ我们都知道，读作delta。表示：一个变量的变化值。例如，Δx=.....。表示x的变化量。

倒三角符号▽呢？读作Nabla。表示：哈密顿算子。数学含义：

引入这个符号的目的是在于表示一种运算。在运算中既有微分又有矢量的双重运算性质。

它的优点在于可以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数的运算，从而可以简化运算过程，并且推导简明扼要，易于掌握。

运用▽符号到一个函数上之后，该函数便瞬间把一个函数从一个表示数量关系的维度变成了N个矢量维度。既包含有偏微分的含义(对变量的偏导数)，又包含有矢量的含义(结果是矢量形式的)。

例如：f(x)=x^2+y^2。

如果应用▽到f(x)上，结果为▽f=2x+2y。no,no,no。。而是▽f=[2x,2y]

这个结果的含义就是，代入一个给定的值之后，例如(2,2)。结果便是[4,4]。表示什么含义？

该向量结果表示坡度。有两层含义：坡度大小和坡度方向。

▽*V和▽V是两个不同的含义。虽然长得很相似。但是，表达的意义却大相径庭。这次我们通过介绍梯度和散度,来掌握一些公式化简的技巧。

1. 梯度算子

什么叫梯度算子?

给定▽算子的一组向量，并且，给定关于f的一组向量。

做内积或者是点乘

这个运算可以反过来，把向量场变成数量场。例如：

结果是一个常数2

而这个2就描述了它发散的程度。

在图上画出来后是这样的：

因此，它表示散度。

如何理解呢？

它表示局部区域的发散程度。

任意给定一点，画一个小圆圈。可以看出：

该圆圈内既有向量流入，又有向量流出

如果该圆圈内流入的少，流出的多，则表示该区域为正源。因为代表该圆圈就像喷泉一样，在向外喷射某种物质。。像一个发射源

反之，如果该圆圈流入的多，流出的少，则表示该区域为负源。因为它就像一个黑洞一样，源源不断地有东西进去，却不再出来了。

2. 梯度

同样，给定一组nabla算子，和一组向量函数

做叉乘

进一步得到

所以结果仍然是向量

例如，

这个结果表示旋度。