z=xy为什么是马鞍面？

z=xy为什么是马鞍面？

在高等数学（同济大学版本）的空间曲面章节中，我们经常会遇到一个形式独特的方程：z=xy。这个方程看起来与我们熟悉的各类空间曲面方程都不同，但事实上，它代表的是一种特殊的双曲抛物面，也被称为马鞍面。那么，这个方程究竟是如何得到的呢？让我们一起来探讨一下。

双曲抛物面的由来

首先，我们需要回顾一下双曲抛物面的来源。虽然名字中包含“双曲”二字，但双曲抛物面实际上与二维双曲线没有直接关系。它是由二维抛物线通过截痕法得到的。具体来说，我们可以从一个标准的双曲抛物面方程开始：

[ z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} ]

接下来，我们用 (x = t) 去截这个方程，就会得到一系列开口向下的抛物线。随着 (t) 的变化，这些抛物线的顶点坐标也会随之变化，最终形成一个类似马鞍的形状。

坐标变换与旋转

为了得到 (z = xy) 的形式，我们需要对坐标系进行旋转。具体来说，我们让 (X) 轴和 (Y) 轴同时旋转45度，而 (Z) 轴保持不变。旋转后的坐标变换公式为：

[ x = a\cos(45^\circ) - b\sin(45^\circ) ]
[ y = a\sin(45^\circ) + b\cos(45^\circ) ]

为了简化计算，我们令 (a = \sqrt{2})。这样，原始的双曲抛物面方程就会变成：

[ z = xy ]

形状验证

有些读者可能会质疑，为什么说 (z = xy) 和原始的双曲抛物面方程是全等的？这是因为我们关注的是形状而非具体的数值。通过坐标变换：

[ x = \frac{u + v}{\sqrt{2}} ]
[ y = \frac{u - v}{\sqrt{2}} ]
[ z = z ]

代入 (z = xy)，可以得到：

[ z = \frac{1}{2}(u^2 - v^2) ]

这就是标准的马鞍面方程形式，证明了 (z = xy) 确实是一个马鞍面。

通过上述推导过程，我们可以清晰地看到，(z = xy) 这个看似简单的方程，实际上蕴含着丰富的几何意义。它不仅展示了数学中的空间曲面变换之美，也体现了数学概念之间的内在联系。