反比例函数
反比例函数
反比例函数是数学中描述两个变量之间反比关系的重要函数类型。其函数图像呈现为两支不相交的曲线，具有独特的性质和广泛的应用价值。从古希腊时期开始，人类就对反比例函数进行了深入研究，如今它在物理学、经济学等多个领域都有重要应用。
发展简史
人类对反比例函数的研究可以追溯到古希腊时期，《几何原本》中的“比例”一卷提出了反比的概念。后世的数学家对反比例函数进行了更为透彻的研究。在18世纪，数学家欧拉在《分析通论》中对反比例函数进行了进一步的研究。
随着数学的发展和应用的拓展，反比例函数在物理学、经济学、生物学、化学等领域有广泛的应用。例如在纯电阻电路中，电压一定时电阻与电流成反比例关系等。随着计算技术的进步，反比例函数的计算和应用变得更加便捷和广泛，为解决实际问题和推动科学发展做出了重要贡献。
定义
如果两变量 (x) 和 (y) 的关系可表示为 (y = \frac{k}{x})（(k \neq 0) 且 (k) 为常数）的形式，则称 (y) 是 (x) 的反比例函数。
函数图像
反比例函数的图像取决于常数 (k) 的正负：
(k) 为正数时函数图像
当 (k > 0) 时，函数 (y = \frac{k}{x}) 的图像在第一象限和第三象限。
(k) 为负数时函数图像
当 (k < 0) 时，函数 (y = \frac{k}{x}) 的图像在第二象限和第四象限。
函数性质
定义域和值域
反比例函数 (y = \frac{k}{x}) 的定义域是 (\mathbb{R} \setminus {0})，值域是 (\mathbb{R} \setminus {0})。
奇偶性
反比例函数 (y = \frac{k}{x}) 是奇函数。
单调性
当 (k > 0) 时，反比例函数 (y = \frac{k}{x}) 的单调减区间是 ((-\infty, 0)) 和 ((0, +\infty))，没有单调增区间。
当 (k < 0) 时，反比例函数 (y = \frac{k}{x}) 的单调增区间是 ((-\infty, 0)) 和 ((0, +\infty))，没有单调减区间。
渐近线
反比例函数的图像有两条渐近线，即 (x) 轴和 (y) 轴。反比例函数的图像的两支曲线都分别无限接近 (x) 轴和 (y) 轴，但都不与 (x) 轴和 (y) 轴相交。
几何意义
函数的几何意义
过反比例函数 (y = \frac{k}{x}) 图像上任意一点 (P) 作 (x) 轴和 (y) 轴的垂线，与 (x) 轴和 (y) 轴交于点 (A)，(B)，则矩形 (OAPB) 的面积等于 (|k|)。
证明：设点 (P) 的坐标是 ((x_0, y_0))，则 (A(x_0, 0))，(B(0, y_0))，故有
[S_{OAPB} = |x_0| \cdot |y_0| = |k|]
对称性
反比例函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形；原点为其对称中心，直线 (y = x) 和直线 (y = -x) 为其对称轴。
证明：反比例函数的图像上的任意点 (P(x, y)) 坐标满足 (y = \frac{k}{x})。
点 (P) 关于原点的对称点 (P'(-x, -y)) 坐标满足
[-y = \frac{k}{-x}]
故而 (P') 也在该反比例函数的图像上，可知反比例函数的图像关于原点对称。
点 (P) 关于直线 (y = x) 的对称点 (P'(y, x)) 坐标满足
[x = \frac{k}{y}]
关于直线 (y = -x) 的对称点 (P'(-y, -x)) 坐标满足
[-x = \frac{k}{-y}]
故而 (P') 和 (P'') 也在该反比例函数的图像上，可知反比例函数的图像关于直线 (y = x) 和直线 (y = -x) 对称。
导数
对于 (y = \frac{k}{x}) 其导数为
[y' = -\frac{k}{x^2}]
不定积分
反比例函数的不定积分为
[\int \frac{k}{x} , dx = k \ln |x| + C]
部分大学数学教材将其表达为
[\int \frac{k}{x} , dx = \begin{cases} k \ln x + C_1 & \text{if } x > 0 \ k \ln (-x) + C_2 & \text{if } x < 0 \end{cases}]
在自变量取正、负的两个部分，加上不同的常数，对求导后的结果不产生影响。
应用举例
例1
已知函数 (y = \frac{k}{x}) 为反比例函数。求 (k) 的值。
解：由反比例函数的定义可知
[k \neq 0]
解之得 (k) 为任意非零实数。
例2
利用反比例函数图像，证明不等式
[\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}]
其中 (a)，(b) 均为正实数。
反比例函数证明不等式
证明：在反比例函数 (y = \frac{k}{x}) 在第一象限的图像上取两点 (A(a, \frac{k}{a}))，(B(b, \frac{k}{b}))，坐标分别为 ((a, \frac{k}{a}))，((b, \frac{k}{b}))。过点 (A)，(B) 作 (x) 轴，(y) 轴的垂线。
如图，由反比例函数的几何意义知
[S_{OAPB} = S_{OAPC} + S_{OBPC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{k}{a} + \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{k}{b} = k]
故而
[\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}]
取等条件为 (a = b)，即点 (A)，(B) 重合，(a = b)。原不等式得证。
例3
许多物理量之间也有反比例关系，可以用反比例函数来表示。例如：
① 相同的力施加在物体上，压强与接触面积成反比；
② 同长度同种材料的柱形定值电阻，其电阻大小与截面积成反比；
③ 单缝衍射的中央亮条纹角宽度与缝宽成反比。
其他相关概念
幂函数
如果两变量 (x) 和 (y) 的关系可表示为 (y = x^n)（(n) 为常数）的形式，那么该函数被称为幂函数。对于反比例函数 (y = \frac{k}{x})，当 (n = -1) 时，其为幂函数，对应的 (k = 1)。
双曲线
反比例函数图像由两条位于不同象限的曲线组成，这两条曲线构成离心率为 (\sqrt{2}) 的双曲线。双曲线是圆锥曲线中的一类。双曲线上的一点到两个定点的距离之差的绝对值为定值，此为双曲线的第一定义。
可以验证，函数 (y = \frac{k}{x}) 上的点到定点 ((\sqrt{2k}, 0)) 和 ((- \sqrt{2k}, 0)) 的距离之差的绝对值为 (2\sqrt{k})：
证明：由对称性，不妨设反比例函数图像在第一象限的点 (P(x, y))，满足 (y = \frac{k}{x})
那么由两点间的距离公式
[d_1 = \sqrt{(x - \sqrt{2k})^2 + y^2}]
[d_2 = \sqrt{(x + \sqrt{2k})^2 + y^2}]
从而
[|d_1 - d_2| = 2\sqrt{k}]
其中的第三个等号用到代换 (y = \frac{k}{x})。上述两式显然相等。
也可以通过旋转来将反比例函数转换为双曲线的标准方程。
作旋转 (\theta = 45^\circ) 的坐标变换
[x' = \frac{x - y}{\sqrt{2}}]
[y' = \frac{x + y}{\sqrt{2}}]
那么原先的函数关系式 (y = \frac{k}{x}) 可化为
[\frac{x'^2}{k} - \frac{y'^2}{k} = 1]
即双曲线的标准方程。