压缩感知理论：突破奈奎斯特采样限制的信号处理革命
压缩感知理论：突破奈奎斯特采样限制的信号处理革命
压缩感知（Compressed Sensing）是一种革命性的信号处理理论，它突破了传统奈奎斯特采样定理的限制，能够在远低于奈奎斯特频率的采样率下实现信号的精确重构。这一理论自21世纪初由Donoho和Candes等人提出以来，已经在图像处理、无线通信等多个领域展现出巨大的应用潜力。本文将带你深入了解压缩感知的核心概念、理论框架及其实际应用。
压缩感知的发展背景
在21世纪初，美国科学家Donoho和Candes等人提出了一种全新的理论——压缩感知理论（Compressed Sensing）。该理论指出，只要信号是可压缩的或者在某个变换域是稀疏的，就可以以远低于奈奎斯特频率的采样率获取稀疏信号的非自适应线性投影。然后，通过求解优化问题可以从有限的采样值中精确重构原始信号。
压缩感知理论建立了一个新的信号描述和处理的理论框架，突破了奈奎斯特采样频率的限制，对信息科学领域的意义十分重大。这一理论的核心在于，信号的采样和压缩可以同时进行，本质上是对信号携带信息的采样过程。
压缩感知理论涉及以下几个核心方面：
- 信号的稀疏表示：找到一个基，使得信号在这个基的表示下具有良好的稀疏性。
- 信号的观测矩阵设计：设计一个平稳的与变换基不相关的观测矩阵，实现低速采样。
- 信号重构：从较少的观测数据中根据过完备原子字典恢复重构出原始信号。
理论框架对比
传统压缩采样
在传统的采样与压缩过程中，首先需要对信号进行满足奈奎斯特的采样，然后对得到的采样值进行转换（如傅里叶变换等），最后对转换后的信号进行压缩。恢复信号的过程则需要对信号进行解压缩，再进行与前面相反的反变换才能得到原始信号。由于这个过程是在高速采样后再进行变换压缩，难免会丢弃大量的采样值，造成数据计算和内存资源的浪费。
压缩感知
压缩感知理论作为一种新的理论框架，将信号的采样和压缩合二为一。其理论框架主要包括三个部分：
- 前提条件：信号必须是稀疏的或者可压缩的。
- 测量矩阵：选择一个满足RIP性质（有限等距性质Restricted Isometry Property）的测量矩阵，对原始信号进行线性投影得到投影测量值。
- 信号重构：通过求解优化问题重构原始信号。
其中，稀疏性的定义如下：对于长度为N的向量（实际上是指一个N维离散信号），如果它的N个元素值中只有K个是非零的（K<<N），则称这个向量是K稀疏的。在实际应用中，只要除了这K个值以外的其他值很小，就可以认为向量是稀疏的。
采样与恢复过程
压缩感知的采样与恢复过程可以分为以下几个步骤：
- 采用随机亚采样，使得频域中产生大量不相关的干扰值。
- 通过设置阈值检测出最大的非零值。
- 假设信号只存在这些非零值，计算由这些非零值引起的干扰。
- 用原始信号减去干扰值，再次设置阈值检测出剩余的非零值。
- 通过迭代过程，逐步解出所有非零值，最终恢复原始信号。
稀疏表示
正交变换基下的稀疏表示
信号的稀疏表示是压缩感知的关键。常用的正交变换基包括离散余弦变换基、快速傅里叶变换基、离散小波变换基等。然而，单一基函数的表达能力有限，例如，光滑连续信号可以用傅里叶基稀疏表示，但脉冲信号则不行。因此，现实世界中的复杂信号往往需要更灵活的表示方法。
冗余字典下的稀疏表示
近年来，信号在冗余字典下的稀疏分解成为研究热点。冗余字典通过组合来自不同基的向量，可以更好地适应各种时频或时间-尺度特性。以匹配追踪算法（Matching Pursuit，MP）为例，其基本思想是通过迭代选择最能表示信号的原子，逐步构建信号的稀疏表示。
观测矩阵
在压缩感知中，观测矩阵（测量矩阵）的设计至关重要。理想情况下，观测矩阵需要满足有限等距性质（Restricted Isometry Property, RIP）。然而，验证一个矩阵是否满足RIP非常复杂。Baraniuk证明，观测矩阵和稀疏表示基不相关（incoherent）是满足RIP的等价条件。
陶哲轩和Candès证明，独立同分布的高斯随机测量矩阵可以成为普适的压缩感知测量矩阵。因此，满足高斯分布的随机测量矩阵成为压缩感知中最常用的观测矩阵。
稀疏重构
压缩感知中的信号重构是理论的核心部分，主要通过求解欠定方程组实现。与稀疏分解相比，压缩感知重构的关键区别在于：
- 稀疏分解是在冗余字典中寻找k列，用线性组合近似表达待分解信号。
- 压缩感知重构是在已知观测值y和测量矩阵A的情况下，重构原始信号的稀疏表示θ。
最小范数问题
为了获得稀疏解，通常采用L1范数最优化。L1范数最优化能够有效促进解的稀疏性，而L2范数最优化则可能导致较大的重构误差。
正交匹配追踪（OMP算法）
正交匹配追踪（OMP）是一种常用的压缩感知信号重构算法。其基本思想是通过迭代选择与残差相关性最大的原子，逐步构建信号的稀疏表示。具体步骤如下：
- 初始化残差为观测值。
- 在每次迭代中，选择与当前残差相关性最大的原子。
- 将选中的原子加入到原子集，并更新残差。
- 重复上述过程，直到达到预设的迭代次数或满足停止条件。
下面是一个使用MATLAB实现的OMP算法示例：
clc;clear
%% 时域测试信号生成
K=7; % 稀疏度(做FFT可以看出来)
N=256; % 信号长度
M=64; % 测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)
f1=50; % 信号频率1
f2=100; % 信号频率2
f3=200; % 信号频率3
f4=400; % 信号频率4
fs=800; % 采样频率
ts=1/fs; % 采样间隔
Ts=1:N; % 采样序列
x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(2*pi*f4*Ts*ts); % 完整信号
%% 时域信号压缩传感
Phi=randn(M,N); % 测量矩阵(高斯分布白噪声)
s=Phi*x.'; % 获得线性测量
%% 正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题)
m=2*K; % 算法迭代次数(m>=K)
Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N); % 傅里叶正变换矩阵
T=Phi*Psi'; % 恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)
hat_y=zeros(1,N); % 待重构的谱域(变换域)向量
Aug_t=[]; % 增量矩阵(初始值为空矩阵)
r_n=s; % 残差值
for times=1:m; % 迭代次数(有噪声的情况下,该迭代次数为K)
for col=1:N; % 恢复矩阵的所有列向量
product(col)=abs(T(:,col)'*r_n); % 恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值)
end
[val,pos]=max(product); % 最大投影系数对应的位置
Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)]; % 矩阵扩充
T(:,pos)=zeros(M,1); % 选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零）
aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s; % 最小二乘,使残差最小
r_n=s-Aug_t*aug_y; % 残差
pos_array(times)=pos; % 纪录最大投影系数的位置
end
hat_y(pos_array)=aug_y; % 重构的谱域向量
hat_x=real(Psi'*hat_y.'); % 做逆傅里叶变换重构得到时域信号
%% 恢复信号和原始信号对比
figure(1);
hold on;
plot(hat_x,'k.-') % 重建信号
plot(x,'r') % 原始信号
legend('Recovery','Original')
norm(hat_x.'-x)/norm(x) % 重构误差
仿真结果如下图所示：
压缩感知理论作为信号处理领域的重大突破，不仅在理论上具有重要价值，而且在实际应用中展现出广阔前景。随着技术的不断发展，压缩感知有望在更多领域发挥重要作用。