向量内积（点乘）和外积（叉乘）

向量内积（点乘）和外积（叉乘）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/qq_44924694/article/details/144708266

向量的内积（点乘）和外积（叉乘）是线性代数中的两个重要概念，它们在物理学、工程学、计算机科学等多个领域都有广泛的应用。本文将从定义、几何意义、重要性质到应用场景，全面介绍这两个概念，并通过对比帮助读者更好地理解它们的区别。

1. 向量的内积（点积）

1.1 定义

对于n维向量a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)，其内积定义为：
a ⋅ b = ∑i=1n ai bi

三维向量特例：
a ⋅ b = |a||b| cosθ
（θ为两向量夹角）

1.2 几何意义

• 表征两个向量的投影关系
• 计算向量夹角的余弦值
• 判断向量正交性：当内积为0时两向量垂直

表征两个向量的投影关系

如上图，可以通过向量内积计算向量P在Q上的投影为：
projQ P = P ⋅ Q / ||Q||^2 Q

向量P垂直于Q的分量为：
perpQ P = P - projQ P = P - P ⋅ Q / ||Q||^2 Q

其中，向量P在Q上的投影可以看作P的线性变换，可以写成矩阵向量积：
projQ P = 1 / ||Q||^2 [Qx^2 QxQy QxQz; QxQy Qy^2 QyQz; QxQz QyQz Qz^2] [Px; Py; Pz]

计算向量夹角的余弦值

根据向量内积公式：
a ⋅ b = |a||b| cosθ

已知a和b可以计算其夹角。另外还可以推导三角形的余弦定理。如下图所示，根据图中的关系可知：c = a - b，因此
c^2 = (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2a ⋅ b = a^2 + b^2 - 2|a||b| cosθ

上述即余弦定理的公式。

1.3 重要性质

1. 交换律
   a ⋅ b = b ⋅ a

2. 分配律
   a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c

3. 数乘结合律
   (k a) ⋅ b = k(a ⋅ b)

4. 正定性
   a^2 ≥ 0
   当且仅当a^2 = 0时，有a = 0。

5. 对称性
   a ⋅ b = b ⋅ a

6. 线性性
   (λ a + μ b) ⋅ c = λ(a ⋅ c) + μ(b ⋅ c)
   对任意实数λ, μ均成立。

7. 向量夹角公式
   cos∠(a, b) = a ⋅ b / |a||b|

8. 柯西-施瓦茨不等式
   |a ⋅ b| ≤ |a||b|
   当且仅当a与b共线时，等号成立。

1.4 应用场景

• 计算向量夹角：cosθ = a ⋅ b / |a||b|
• 物理中的功计算：W = F ⋅ s
• 机器学习中的相似度计算

2. 向量的外积（叉积）

2.1 定义（仅适用于三维空间）

对于三维向量a = (ax, ay, az)和b = (bx, by, bz)：
a × b = |i j k; ax ay az; bx by bz|

模长计算公式：
|a × b| = |a||b| sinθ

其方向遵循右手法则：

另外，也可以将向量的表示转化为矩阵的运算：

2.2 几何意义

• 结果向量垂直于原向量所在平面
• 模长等于两向量构成的平行四边形面积
• 方向遵循右手法则

2.3 重要性质

1. 反交换律：a × b = -b × a
2. 与自身叉积为零：a × a = 0
3. 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c

2.4 应用场景

• 计算平面法向量
• 物理中的力矩计算：M = r × F
• 计算三角形/平行四边形面积

3. 内积与外积对比

4. 记忆口诀

内积看投影，外积看面积
点积标量积，叉积向量生
右手定方向，正交看归零

理解要点：内积关注向量的"相似程度"，外积关注向量的"空间关系"