MATLAB傅里叶级数和周期数据分析教程

MATLAB傅里叶级数和周期数据分析教程

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_44209907/article/details/137343364

傅里叶级数是信号处理和数据分析中的重要工具，它可以帮助我们理解周期性信号的频谱特性。本文将通过MATLAB示例，介绍如何使用傅里叶级数将正弦波转换为方波，以及如何使用快速傅里叶变换（FFT）分析周期性数据。

1. 从正弦波转换为方波

此示例说明方波的傅里叶级数展开式是如何由奇次谐波的和构成的。

首先以 0.1 为步长，生成一个从 0 到 10 的时间向量，并求出所有点的正弦。绘制基频图。

t = 0:.1:10;
y = sin(t);
plot(t,y);  

接下来，向基频添加三次谐波，并绘制谐波图。

y = sin(t) + sin(3*t)/3;
plot(t,y);  

接下来使用第一、第三、第五、第七和第九个谐波。

y = sin(t) + sin(3*t)/3 + sin(5*t)/5 + sin(7*t)/7 + sin(9*t)/9;
plot(t,y);  

最后，从基频开始创建更多连续谐波的向量，一直到第 19 个谐波为止，并将所有中间步长保存为矩阵的行。在同一个图窗中绘制这些向量，以便显示方波的演变。请注意，吉布斯效应表明它实际上永远不会转换为方波。

t = 0:.02:3.14;
y = zeros(10,length(t));
x = zeros(size(t));
for k = 1:2:19
 x = x + sin(k*t)/k;
 y((k+1)/2,:) = x;
end
plot(y(1:2:9,:)')
title('The building of a square wave: Gibbs'' effect')  

surf(y);
shading interp
axis off ij  

2. 使用 FFT 分析周期性数据

可以使用傅里叶变换来分析数据中的变化，例如一个时间段内的自然事件。天文学家使用苏黎世太阳黑子相对数将几乎 300 年的太阳黑子的数量和大小制成表格。对大约 1700 至2000 年间的苏黎世数绘图。

load sunspot.dat
year = sunspot(:,1);
relNums = sunspot(:,2);
plot(year,relNums)
xlabel('Year')
ylabel('Zurich Number')
title('Sunspot Data')  

为了更详细地看太阳黑子活动的周期特性，将对前 50 年的数据绘图。

plot(year(1:50),relNums(1:50),'b.-');
xlabel('Year')
ylabel('Zurich Number')
title('Sunspot Data')  

傅里叶变换是一种基础的信号处理工具，可确定数据中的频率分量。使用fft函数获取苏黎世数据的傅里叶变换。删除存储数据总和的输出的第一个元素。绘制该输出的其余部分，其中包含复傅里叶系数关于实轴的镜像图像。

y = fft(relNums);
y(1) = [];
plot(y,'ro')
xlabel('real(y)')
ylabel('imag(y)')
title('Fourier Coefficients')  

单独的傅里叶系数难以解释。计算系数更有意义的方法是计算其平方幅值，即计算幂。由于一半的系数在幅值中是重复的，因此您只需要对一半的系数计算幂。以频率函数的形式绘制功率谱图，以每年的周期数为测量单位。

n = length(y);
power = abs(y(1:floor(n/2))).^2; % power of first half of transform data
maxfreq = 1/2; % maximum frequency
freq = (1:n/2)/(n/2)*maxfreq; % equally spaced frequency grid
plot(freq,power)
xlabel('Cycles/Year')
ylabel('Power')  

太阳黑子活动发生的最大频率低于每年一次。为了查看更易解释的周期活动，以周期函数形式绘制幂图，以每周期的年数为测量单位。该绘图揭示了太阳黑子活动约每 11 年出现一次高峰。

period = 1./freq;
plot(period,power);
xlim([0 50]); %zoom in on max power
xlabel('Years/Cycle')
ylabel('Power')