最优控制中的非线性规划与伪谱法应用：网格优化与求解器性能分析【附代码】
最优控制中的非线性规划与伪谱法应用：网格优化与求解器性能分析【附代码】
最优控制理论在现代科学技术中扮演着重要角色，广泛应用于交通、运输、国防、航天等领域。本文将介绍最优控制中的非线性规划与伪谱法应用，重点讨论伪谱法的原理、网格优化方法以及在MATLAB中的实现。
在现代科学技术发展的大背景下，各个领域对最优控制理论的需求日益增长。交通、运输、国防、航天等领域都广泛应用着最优控制理论。在相关研究中，先后形成了变分法、打靶法和伪谱法等理论方法。变分法通过寻找泛函的极值来求解最优控制问题，它将问题转化为求解一组微分方程。打靶法是将求解最优控制问题转化为寻找满足边界条件的初始值问题，通过迭代逼近目标函数。伪谱法以插值代替积分，通过选择合适的离散点将连续最优控制问题离散化，从而得到稀疏的非线性规划（NLP）问题。
然而，大多数方法在细化网格方面存在效率问题。例如，在变分法中，随着网格细化，计算量会大幅增加，导致求解速度变慢。打靶法在处理复杂问题时，由于需要多次迭代，计算效率较低。伪谱法虽然在离散化过程中具有一定优势，但在处理一些特殊情况时，如子区间采样点约束误差不满足要求时，需要对网格进行优化，而传统的优化方法往往会导致离散点过多，使得优化问题难以求解。
伪谱法的研究与改进
（一）伪谱法原理
伪谱法将连续最优控制问题离散化，通过在离散点上进行插值来近似积分。它利用恰当的离散点设置，将连续系统的状态变量和控制变量表示为多项式函数。例如，在一个简单的控制系统中，将状态变量和控制变量在离散点上进行多项式拟合，然后通过求解这些多项式函数来得到最优控制解。这种方法将连续的最优控制问题转化为一系列的代数方程，使得求解过程更加简便。
（二）网格优化
当子区间采样点约束误差不满足要求时，需要对网格进行优化。自适应调整网格法是一种常用的方法，它通过增加子区间多项式次数或对网格加密来提高求解精度。例如，在一个复杂的控制系统中，通过增加子区间多项式次数来更好地拟合状态变量和控制变量，从而得到更精确的解。然而，自适应网格优化也存在局限性。当子区间网格约束容差不满足要求时，采取特定的优化策略可能会导致离散点过多。例如，在多个子区间进行网格加密时，会增加计算量，使得优化问题难以求解。
（三）改进网格优化算法
基于自适应伪谱法进行改进，综合考虑动力学误差和路径约束误差的最大值。以两者的相对大小为依据进行网格优化，尽可能地在使用较少加密网格点的情况下提高求解精度。例如，当动力学误差较大而路径约束误差较小时，优先对网格进行加密，以减少动力学误差。当路径约束误差较大而动力学误差较小时，调整网格参数，使得路径约束误差得到满足。通过这种方法，能够在保证求解精度的前提下，减少迭代次数和求解规模，提高后续求解效率。
伪谱法求解工具 GPOPS 的改进
（一）自动无量纲化
采用自动无量纲化方法对待优化数据进行预处理。在实际工程中，不同物理量的单位和量级可能不同，这会影响求解过程。通过自动无量纲化，将所有数据转化为无量纲形式，使得求解过程更加统一和高效。例如，将不同物理量的单位转化为统一的无量纲单位，避免因单位差异导致的计算误差。
（二）依赖变量判断
对求解过程中的依赖变量进行判断，去除没必要的偏导数计算过程。在求解过程中，一些变量可能对结果影响较小，通过判断这些变量的依赖关系，可以减少不必要的计算。例如，在一个复杂的控制系统中，某些变量的变化对其他变量的影响较小，通过判断这些变量的依赖关系，可以减少对这些变量的偏导数计算，从而节省计算时间和计算机存储空间。
MATLAB 建模与求解
（一）工程问题建模
基于 MATLAB 对若干工程问题进行建模。例如，在一个交通系统中，建立车辆行驶模型，考虑车辆的速度、加速度、行驶轨迹等因素。在一个航天系统中，建立卫星轨道模型，考虑卫星的轨道参数、姿态控制等因素。通过建立这些模型，将实际问题转化为数学问题，为求解最优控制问题提供基础。
（二）求解过程
利用 MATLAB 对建立的模型进行求解。根据改进的伪谱法和优化算法，对模型进行求解。例如，在一个车辆行驶模型中，通过优化控制策略，使车辆在最短时间内达到目标速度。在卫星轨道模型中，通过调整卫星的姿态控制，使卫星保持稳定运行。通过求解过程，验证相关算法的可行性和有效性。
（三）结果分析
对求解结果进行分析。将求解结果与实际情况进行对比，评估算法的性能。例如，在车辆行驶模型中，比较优化后的行驶速度和实际行驶速度，分析算法的优化效果。在卫星轨道模型中，分析卫星的姿态控制是否满足要求。通过结果分析，总结算法的优点和不足，为进一步改进和应用提供参考。
下面是基于MATLAB的最优控制算法示例：
% 基于MATLAB的最优控制算法示例
% 定义系统动力学方程
function dx = dynamics(t, x, u)
% 假设系统动力学方程为 dx = f(x, u)
dx = u - x;
end
% 定义目标函数
function J = objective(t, x, u)
% 假设目标函数为 J = integral((x - u)^2)
J = (x - u)^2;
end
% 伪谱法求解最优控制问题
function [x_opt, u_opt] = pseudospectralMethod(t0, tf, x0, u0)
% 离散化时间点
N = 10;
t = linspace(t0, tf, N);
% 初始化状态变量
x = zeros(length(t), length(x0));
u = zeros(length(t), length(u0));
x(1, :) = x0;
% 迭代求解
for k = 1:length(t) - 1
% 计算状态变量和控制变量
x(k + 1, :) = x(k, :) + (tf - t0) / N * dynamics(t(k), x(k, :), u(k, :));
u(k + 1, :) = u(k, :);
end
% 计算目标函数
J = sum(arrayfun(@(t, x, u) objective(t, x, u), t, x, u));
% 优化求解
options = optimset('MaxIter', 100);
[u_opt, ~] = fmincon(@(u) objective(t, x, u), u0, [], [], [], [], [], [], options);
x_opt = zeros(length(t), length(x0));
x_opt(1, :) = x0;
for k = 1:length(t) - 1
x_opt(k + 1, :) = x_opt(k, :) + (tf - t0) / N * dynamics(t(k), x_opt(k, :), u_opt(k, :));
end
end
% 主程序
t0 = 0;
tf = 1;
x0 = [1];
u0 = [0];
[x_opt, u_opt] = pseudospectralMethod(t0, tf, x0, u0);
disp('最优状态');
disp(x_opt);
disp('最优控制');
disp(u_opt);