载流子有效质量与载流子迁移率计算（形变势理论）

载流子有效质量与载流子迁移率计算（形变势理论）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_51602307/article/details/147037586

本文介绍了基于形变势理论计算半导体材料中载流子迁移率的方法，包括有效质量、弹性模量、形变常数的计算步骤，以及最终如何计算载流子迁移率。

有效质量

有效质量概括了半导体中内部势场的作用。引入有效质量后，带顶、带底的电子运动状态可以表达为类似自由电子的形式。有效质量反映了晶体中的势场对电子束缚作用的大小（能带极值处有不同的曲率半径）。

1. 计算能带，绘制能带图
2. 选取CBM、VBM附近数据（沿三个方向）（不少于5个点）
   在origin内可以通过这个按钮选取
3. 导入Excel / Origin，按照镜面对称补齐数据，使其成为抛物线形
   例如
4. 在origin内选定这两列数据，绘制线图
5. 在Origin的 Analysis - Mathematics - Differentate 进行二阶求导（Derivative Order = 2）
   得到二阶求导结果
   
6. 选取带顶/底对应的求导值（即
   对应的二次导数值），计为
   ，代入载流子有效质量计算公式

弹性模量

1. 分别沿 abc方向，修改晶格矢量
   为
   、
   、
   、
2. 进行自洽计算，提取体系总能量
3. 将数据导入Origin进行二次拟合。Analysis - Fitting - Nonlinear Curve Fit
   在打开窗口的类别中选择 User Defined
   函数栏选择“新建”，会打开函数拟合生成器。函数类型选择“公式”，点击下一步
   参数填写A,B,C 点击下一步
   在函数主体填写这次要拟合的函数y=Ax^2+Bx+C
   然后一直点击下一步，直到完成此次设置，页面回到最初拟合界面
   然后一直点击“单纯性”按键，直到拟合的曲线不在变化，最后点击拟合，生成拟合的参数
   得到拟合的A,B,C数值，A=2,B=3,C=1,和拟合的曲线y=2x^ 2+3x+1的曲线
   或是在Origin内使用 Analysis - Fitting - Polynomia Fit
   选择二阶拟合
   得到二次拟合曲线
   得到总能量关于形变量的二次曲线：
   
   使用 Analysis - Mathematics - Differentate 进行二阶求导（Derivative Order = 2）
   获得
   处的二次导数为弹性模量

形变常数

1. 分别沿 abc方向，修改晶格矢量
   为
   、
   、
   、
2. 进行自洽、能量计算
3. 在band.out文件中，找到CBM和VBM对应的能量值
4. 在 origin 绘制CBM、VBM对应的能量值随形变量的直线
5. 使用 Analysis - Fitting - Linear Fit 进行线性拟合
   
6. 获得能量对形变量的一次导数，即为

载流子迁移率

代入上面计算得到的有效质量
、弹性模量
、形变常数
。

附：理论模型

形变势理论（Deformation-Potential Theory）
——https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.80.72
在室温下，能量为
的电子的速度数量级在
，对应的相干波长约为
。这个数量级与声学声子波长数量级相近，远大于晶格常数。因此认为声学声子造成了大部分的电子散射。声学声子与电子散射的几率可以写为
其中
为沿
方向第
条能带上的形变势常数，
为
方向上的弹性系数。
由热运动和外电场造成的晶格形变所导致的晶格势场的变化与晶格体积的变化呈线性关系
。变化的周期晶格势会改变电子被散射的几率。因此可以通过形变后晶格能量的变化来反推由于声学声子造成的散射公式中的形变势常数
。
粒子从
被散射到
点可以被表示为
由弛豫时间近似有：
而粒子从
被散射到
点还可以被表示为
假设发生在电子上的散射为弹性碰撞（
），则弛豫时间近似可以进一步近似为：
粒子分布函数：
根据定义，迁移率在外电场
下为：
则根据
的公式，另外考虑
为奇函数，
为偶函数。考虑能带，则
的表达式可分化为：
在带隙远大于
的情况下，可以把费米-狄拉克分布函数近似为玻尔兹曼分布函数，
于是迁移率表达式化为
对于VBM、CBM有有效质量近似
对应的迁移率：
这里面的
通过改变晶格常数，求对应体系总能量变化的二阶导数获得，即
通过改变晶格常数，求第
条能带值关于形变量的一阶导数获得，即