简单聊聊——圣维南原理

简单聊聊——圣维南原理

圣维南原理是工程力学中的一个重要概念，它描述了在远离加载点的地方，不同加载方式产生的应力和应变具有相同性。本文将通过具体实例，深入浅出地解释这一原理。

应力与应变的基本概念

我们一般用应力的概念描述力在构件内部的分布情况，用应变描述构件的变形情况，并且应力和应变之间存在一定的数学关系，这种关系取决于构件的材质。

圣维南原理的直观理解

设想一个如图1所示的构件，其下部被固定，上部设有开孔用于施加轴向荷载P，将构件进行网格划分，网格横线和竖线可以用来展示构件受力情况下局部区域的变形情况。

图1 向端部固定的构件施加荷载

从图1可以看出，构件上、下部分变形不均匀，但是远离两端的部分变形逐渐趋于均匀。

如果在P的作用下，两端变形虽不均匀但依然处于弹性变形阶段，那么根据胡克定律，两端的应力与变形是直接线性相关的，换句话说，两端的应力分布也是不均匀的，并且从两端向中间过渡的过程中，应力分布逐渐均匀。

以图1中的切面a、b、c举例来说，三个切面的应力分布均匀性有所不同。

离加载点越近的切面a，其应力分布越不均匀，随着切面逐渐远离P，切面b和切面c处的应力分布越来越均匀，而且必然有一个切面c，此处的应力在切面上是完全均布的，切面c离P的距离可以基于弹性理论使用数学方法求得。

图2 三个不同位置切面应力分布情况

研究发现，这个距离至少等于构件截面的最大边长。如果图1的构件截面是正方形，那么切面c与P的距离应至少等于截面边长。

圣维南原理的定义

构件的应力和变形符合这个规律的现象首先被圣维南发现，也被人称为“圣维南原理”。

圣维南原理可以简述为“以不同加载形式对同样的构件施加大小相同、方向相同的荷载，在远离加载点的地方，两种加载方式产生的应力和应变是一样的。”

比如图3是另一种加载方式，虽然与图1中的加载方式不一样，但是加载位置和大小、方向都一样，那么在相同的切面位置c处的应力和应变都是一样的。

图3 不同加载方式