三维空间中的球坐标系

三维空间中的球坐标系

球坐标系是三维空间中表示点位置的一种重要坐标系统，它是二维极坐标系在三维空间中的自然推广。本文将从基本概念出发，通过图示和公式，详细解释球坐标系的表示方法及其在三维场景中的应用。

初中数学接触过极坐标，用半径r和与x轴夹角θ来表示二维平面上一个点的位置。球坐标系就是极坐标系在三维上的推广。球坐标系在三维场景中非常常见，在三维交互性的设计中也免不了球坐标系的应用，如AR/VR头显中的陀螺仪传感器等。

相比于极坐标( r , θ )，球坐标额外增加了一个角度( r , θ , ϕ )，用一张图可以轻易地看出来：

与z轴正向的夹角，我们成为极角（polar angle），与x轴正向的夹角，我们成为方位角（azimuth angle）。与这里需要强调的是，在物理学中极角的符号是θ，而方位角的符号是ϕ，在数学中刚好反过来。在实际使用过程中，我们需要辨别。

球坐标系的三个参数可以通过以下公式转换为直角坐标系：

$$
r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \tag{1}
$$

$$
\phi = \arccos\left(\frac{z}{r}\right) \tag{2}
$$

$$
\theta = \arccos\left(\frac{x}{r\sin\phi}\right) \tag{3}
$$

球坐标系的性质