MATLAB用GARCH模型对股票市场收益率时间序列波动的拟合与预测
MATLAB用GARCH模型对股票市场收益率时间序列波动的拟合与预测
本篇文章将详细介绍如何使用MATLAB中的GARCH模型对股票市场收益率时间序列进行波动拟合与预测。通过具体的代码示例，我们将展示GARCH模型的基本概念、参数设置、模型创建、参数估计、模拟和预测等步骤。
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描述
使用 garch 指定一个单变量GARCH（广义自回归条件异方差）模型。garch 模型的关键参数包括：
- GARCH 多项式，由滞后条件方差组成。阶数用P表示 。
- ARCH多项式，由滞后平方组成。阶数用Q表示 。
P 和 Q 分别是 GARCH 和 ARCH 多项式中的最大非零滞后。其他模型参数包括平均模型偏移、条件方差模型常数和分布。所有系数都是未知（NaN 值）和可估计的。
示例：
'ARCHLags',[1 4],'ARCH',{NaN NaN}
指定 GARCH(0,4) 模型和未知但非零的 ARCH 系，滞后 1 和 4 。
例子
创建默认 GARCH 模型
创建默认 garch 模型对象并指定其参数值。
创建 GARCH(0,0) 模型。
garch
Mdl 是一个 garch 模型。它包含一个未知常数，其偏移量为 0，分布为 'Gaussian'。该模型没有 GARCH 或 ARCH 多项式。
为滞后 1 和滞后 2 指定两个未知的 ARCH 系数。
ARCH = {NaN NaN}
该 Q 和 ARCH 性能更新为 2 和 {NaN NaN}。两个 ARCH 系数与滞后 1 和滞后 2 相关联。
创建 GARCH 模型
garch 创建 模型 garch(P,Q)，其中 P 是 GARCH 多项式的阶数，Q 是 ARCH 多项式的阶数。
创建 GARCH(3,2) 模型
garch(3,2)
Mdl 是一个 garch 模型对象。
Mdl 的所有属性，除了 P，Q 和 Distribution，是 NaN 值。默认情况下：
- 包括条件方差模型常数
- 排除条件平均模型偏移（即偏移为 0）
- 包括 ARCH 和 GARCH 滞后运算符多项式中的所有滞后项，分别达到滞后 Q 和 P 。
Mdl 仅指定 GARCH 模型的函数形式。因为它包含未知的参数值，您可以通过 Mdl 和时间序列数据 estimate 来估计参数。
使用参数创建 GARCH 模型
garch 使用名称-值对参数创建 模型。
指定 GARCH(1,1) 模型。默认情况下，条件平均模型偏移为零。指定偏移量为 NaN 。
garch('GARCH',1,'ARCH',1,'Offset',NaN)
Mdl 是一个 garch 模型对象。
由于 Mdl 包含 NaN 值，Mdl 仅适用于估计。将 Mdl 时间序列数据传递给 estimate 。
创建具有已知系数的 GARCH 模型
创建一个具有平均偏移量的 GARCH(1,1) 模型，yt=0.5+εt, 其中 εt=σtzt，σ2t = 0.0001 + 0.75σ2t − 1 + 0.1ε2t − 1，zt 是一个独立同分布的标准高斯过程。
garch('Constant',0.00001,'GARCH',0.75,...
'ARCH',0.1,'Offset',0.5)
访问 GARCH 模型属性
创建 garch 模型对象。
garch(3,2)
从模型中删除第二个 GARCH 项。即，指定第二个滞后条件方差的 GARCH 系数为 0 。
GARCH{2} = 0
GARCH 多项式有两个未知参数，分别对应滞后 1 和滞后 3。
显示扰动的分布。
Distribution
扰动是均值为 0 且方差为 1 的高斯扰动。
指定基础 IID 扰动具有 五个自由度的t分布。
Mdl.Distribution = struct('Name','t','DoF',5)
指定第一个滞后的 ARCH 系数为 0.2，第二个滞后的 ARCH 系数为 0.1。
ARCH = {0.2 0.1}
要估计残差的参数，您可以将 Mdl 数据传递 给 estimate . 指定的参数并将其用作等式约束。或者，您可以指定其余的参数值，然后通过将完全指定的模型分别传递给 simulate 或 来模拟或预测 GARCH 模型的条件方差 forecast 。
估计 GARCH 模型
将 GARCH 模型拟合到 1922-1999 年股票收益率的年度时间序列。
加载 Data 数据集。绘制收益率 ( nr )。
load Data_EquityIdx;
figure;
plot(dates,nr);
title 'Monthly Returns';
xlabel 'Year';
ylabel 'Return';
收益序列似乎具有非零条件平均偏移，并且似乎表现出波动聚集。也就是说，较早年份的变异性小于晚年的变异性。对于此示例，假设 GARCH(1,1) 模型适用于该序列。
创建 GARCH(1,1) 模型。默认情况下，条件平均偏移为零。要估计偏移量，请将其指定为 NaN 。
Mdl = garch('GARCHLags',1,'ARCHLags',1,'Offset',NaN);
将 GARCH(1,1) 模型拟合到数据。
EstMdl = estimate(Mdl,nr);
EstMdl 是一个完全指定的 garch 模型对象。也就是说，它不包含 NaN 值。您可以通过使用 生成残差 infer ，然后对其进行分析来评估模型的充分性 。
要模拟条件方差或序列，请传递 EstMdl 到 simulate 。
要预测分布，请 EstMdl 转到 forecast 。
模拟 GARCH 模型观察序列和条件方差
从完全指定的 garch 模型对象模拟条件方差或序列路径 。也就是说，从估计 garch 模型或已知 garch 模型（您在其中指定所有参数值）进行模拟 。
加载 Data 数据集。
load Data_EquityIdx;
创建具有未知条件平均偏移量的 GARCH(1,1) 模型。将模型拟合到年度收益序列。
Mdl = garch('GARCHLags',1,'ARCHLags',1,'Offset',NaN);
EstMdl = estimate(Mdl,nr);
从估计的 GARCH 模型模拟每个时期的 100 条条件方差和序列路径。
numObs = length(nr); % 样本大小（T）
numPaths = 100; % 要模拟的路径数
rng(1); % 用于重现
[VSim,YSim] = simulate(EstMdl,numObs,'NumPaths',numPaths);
VSim 和 YSim 是 T-by-numPaths 矩阵。行对应一个采样周期，列对应一个模拟路径。
绘制模拟路径的平均值以及 97.5% 和 2.5% 的百分位数。将模拟统计数据与原始数据进行比较。
VMean = mean(VSim,2);
VCI = quantile(VSim,[0.025 0.975],2);
YMean = mean(YSim,2);
YCI = quantile(YSim,[0.025 0.975],2);
figure;
plot(dates,nr);
hold on;
h1 = plot(dates,VMean);
h2 = plot(dates,VCI);
hold off;
预测 GARCH 模型条件方差
从完全指定的 garch 模型对象预测条件方差 。也就是说，根据估计 garch 模型或 garch 您指定所有参数值的已知 模型进行预测 。
加载 Data 数据集。
load Data_EquityIdx;
创建具有未知条件平均偏移量的 GARCH(1,1) 模型，并将该模型拟合到年度收益率序列。
Mdl = garch('GARCHLags',1,'ARCHLags',1,'Offset',NaN);
EstMdl = estimate(Mdl,nr);
使用估计的 GARCH 模型预测未来 10 年收益率序列的条件方差。将整个收益系列指定为样本前观察。软件使用样本前观测值和模型推断样本前条件方差。
numPeriods = 10;
vF = forecast(EstMdl,numPeriods,nr);
绘制名义收益的预测条件方差。将预测与观察到的条件方差进行比较。
figure;
plot(dates);
hold on;
plot(dates(end):dates(end) + 10,[v(end);vF]);
hold off;
参考
[1] Tsay，金融时间序列的RS 分析。第 3 版。新泽西州霍博肯：John Wiley & Sons, Inc.，2010 年。