2倍角公式：三角函数的秘密武器

2倍角公式：三角函数的秘密武器

三角函数中的2倍角公式是数学学习中的一个重要知识点，它在求解三角方程、化简三角表达式以及计算积分和级数等方面有着广泛的应用。本文将详细介绍正弦、余弦和正切的2倍角公式，并给出它们的推导过程。

2倍角公式

正弦倍角公式

[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x ]

余弦倍角公式

[ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x ]

正切倍角公式

[ \tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} ]

应用

2倍角公式在三角学中有着广泛的应用，例如：

• 求解三角方程
• 化简三角表达式
• 求积分和级数的和

推导

上述公式可以通过以下几何方法推导：

假定一个单位圆，圆心角为 (x)，将圆弧 (PQ) 平分，则得到角 (2x)。设 (PQ)，(Ox) 和 (Oy) 的长度分别为 (a)，(b) 和 (c)。根据正弦定理，有：

$$ \frac{a}{\sin x} = \frac{c}{\sin 2x} $$

$$ \Rightarrow \sin 2x = \frac{2ac}{c} = 2 \sin x \cos x $$

类似地，可以推导出余弦倍角公式和正切倍角公式。

相关知识

除了2倍角公式外，三角函数中还有其他重要的恒等式，如：

和差角公式

[ \sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y ]
[ \sin (x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y ]
[ \cos (x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y ]
[ \cos (x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y ]

半角公式

[ \sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}} ]
[ \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}} ]